Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació.

Solucions del Cangur 2018 a Catalunya: 3r d'ESO

26 de de juliol de 2018. Víctor López Ferrando.

Descobreix la Contrarellotge matemàtica, el portal de concursos matemàtics online.

Visita la Contrarellotge

Aquest és el recull de solucions del Nivell de 3r d'ESO del Cangur de Catalunya de 2018. Els enunciats estan extrets del primer model d'examen del pdf d'enunciats. Les solucions estan amagades (cal fer clic per mostrar-les) perquè és recomanable pensar detingudament cada problema abans de mirar la solució que jo proposo!

Podeu accedir a les qüestions directament:

Els enunciats del Cangur són propietat de la Societat Catalana de Matemàtiques i Le Kangourou sans Frontières.


Qüestions de 3 punts


Enunciat 1, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Totes les lletres de la paraula $\boxed{\text{VOTO}}$ tenen un eix de simetria vertical i per tant aquesta és la solució.


Enunciat 2, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El perímetre del triangle és $6+10+11=27$. Un triangle equilàter té els tres costats de la mateixa longitud, i per tant el costat és:

$$c=\frac{27}3=\boxed{9}$$


Enunciat 3, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Simplifiquem la fracció:

$$\frac{2018+2018}{2018+2018+2018}=\frac{2\cdot2018}{3\cdot2018}=\boxed{\frac23}$$


Enunciat 4, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem aïllar el triangle i simplificar fàcilment:

$$\triangle=\frac{2\times18\times14}{6\times7}=2\times\frac{18}6\times\frac{14}7=2\times3\times2=\boxed{12}$$


Enunciat 5, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem descartar els dibuixos $A$ i $B$ perquè tenen els cercles massa a prop de la base de la tanca.

Pel que fa a la resta, l'opció $\boxed{\text{C}}$ és l'única que té els triangles ben orientats.


Enunciat 6, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com que $2018\times14$ és múltiple de $7$, el residu d'aquest sumand és zero.

Per tant, el residu de la suma serà el residu de dividir $15$ per $7$, que és $\boxed1$.


Enunciat 7, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

En el pitjor dels casos, hi haurà un terç de persones a qui no agrada el futbol, però sí el tennis.

Per tant, dels $\frac34$ aficionats del tennis, també els agrada el futbol a: $$\frac34-\frac13=\frac9{12}-\frac4{12}=\boxed{\frac5{12}}$$


Enunciat 8, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Hi ha $\boxed{4}$ camins possibles:

Solució 8, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya


Enunciat 9, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Per la figura sabem que $5$ costats curts es corresponen amb $2$ costats llargs. Per tant, el costat curt mesura:

$$\text{costat curt}=\frac25\cdot10=4$$

El perímetre del rectangle gran està format per $6$ costats llargs i $4$ de curts, és a dir:

$$\text{P}=6\cdot10+4\cdot4=\boxed{76}$$


Enunciat 10, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Els cercles tenen diàmetre $7$, i per tant, radi $3.5$.

Cadascun dels centres està a $3.5$ dels extrems dret i esquerre del rectangle, i per tant estan a una distància entre ells de:

$$d=11-3.5-3.5=\boxed{4}$$


Qüestions de 4 punts


Enunciat 11, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El quadrat té àrea $3\times3=9$, i el triangle $\triangle DMC$ té una àrea que és un terç d'aquesta àrea, és a dir, $3$.

Com l'altura del triangle $\triangle DMC$ és $3$, amb la base $DM$, la fórmula de la seua àrea és:

$$A_{\triangle DMC}=\frac12\times \overline{DM}\times3=3$$

I si aïllem $\overline{DM}$ tenim:

$$\overline{DM}=\boxed2$$


Enunciat 12, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Provant una mica és fàcil adonar-se que la multiplicació ha de ser:

$$13\times24=312$$

Per tant la suma dels tres dígits és:

$$S=1+4+1=\boxed6$$


Enunciat 13, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, intentem esbrinar la mida del rectangle. Anomenem $a,b$ els dos costats del rectangle (el nombre de files i columnes de quadradets).

Sabem que $a\times b=40$, i que $a,b>1$. Per poder parlar d'una fila del mig, cal que $a$ sigui senar, i per tant $b$ ha de ser parell.

La descomposició en factors primers de $40$ és $40=2^3\cdot5$. Per tant, necessàriament el nombre de files i columnes serà: $a=5, b=8$.

La fila del mig té $8$ quadrats, i sense pintar en queden $40-8=\boxed{32}$.


Enunciat 14, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si el regal fos a la caixa $1$, llavors les dues primeres pistes serien certes, cosa que no pot ser.

Si el regal fos a la caixa $2$, cap de les tres pistes seria certa, però sabem que una ho ha de ser.

Per tant, el regal és a la caixa $\boxed3$.


Enunciat 15, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Començant per dalt, i partint d'una recta horitzontal, realitzem un gir negatiu de $-10^\circ$ i després un positiu de $14^\circ$, obtenint una recta amb $4^\circ$ positius.

Per baix, l'operació que hem de fer és $26-33=-7^\circ$.

Entre ambdues rectes formen un angle de:

$$\alpha=4-(-7)=\boxed{11^\circ}$$


Enunciat 16, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $x,y$ els dos primers nombres de la seqüència:

$$x\quad y\quad 1\quad\text{\textunderscore}\quad\text{\textunderscore}\quad\text{\textunderscore}\quad\text{\textunderscore}\quad32$$

Si emplenem els buits amb el producte dels dos nombres anteriors tenim:

$$x\quad y\quad (x\cdot y=1)\quad y\quad y\quad y^2\quad y^3\quad (y^5=32)$$

Però resulta que $32=2^5$, i per tant $y=2$. Llavors:

$$x\cdot y=1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\boxed{\frac12}$$


Enunciat 17, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

L'any $2018$ té $365$ dies, per tant aquesta illa tindrà 15 dies núvol.

En el pitjor dels casos, el primer dia de la Carla a l'hotel farà sol, però el dia següent estarà núvol, cosa que es repetirà durant $30$ dies en total.

Llavors, necessàriament tindrà dos dies de sol seguits. En total, haurà hagut d'esperar $\boxed{32}$ dies.


Enunciat 18, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si la Carme ha gastat $c$, llavors la Berta ha gastat $0.15c$ i l'Àlia $1.6c$. En total, les tres han gastat:

$$1.6c+0.15c+c=2.75c=55$$

Podem aïllar la $c$ i esbrinem que la Carme va gastar:

$$c=\frac{55}{2.75}=20$$

Per tant, Àlia va gastar:

$$a=1.6c=\boxed{32}$$


Enunciat 19, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

L'àrea d'un triangle és la meitat de la base per l'altura. En el nostre cas, els dos triangles tenen la mateixa base (el costat llarg del rectangle). A més, les sumes de les seves altures és també l'altura del rectangle.

En conclusió, la suma de les àrees dels dos triangles és la meitat de l'àrea del rectangle, és a dir, $\boxed{20\text{ cm}^2}$.


Enunciat 20, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si sumem les tres files i les tres columnes, sumem cada nombre dos cops. En total, sumarem:

$$S=2\cdot(1+2+\cdots+8+9)=2\cdot45=90$$

La suma dels cinc resultats que sabem són:

$$12+13+15+16+17=73$$

I per tant el sisè resultat serà: $90-73=\boxed{17}$.


Qüestions de 5 punts


Enunciat 21, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $x_1,x_2,\ldots,x_{11}$ els punts, ordenats d'esquerra a dreta. Llavors, les sumes són:

$$2018=(x_2-x_1)+(x_3-x_1)+\cdots+(x_{11}-x_1)=-10x_1+(x_2+x_3+\cdots+x_{11})$$ $$2000=(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\cdots+(x_{11}-x_2)=-x_1-9x_2+(x_2+x_3+\cdots+x_{11})$$

Si restem les dues equacions, obtenim:

$$18=-9x_1+9x_2=9(x_2-x_1)$$

I per tant, la distància entre els dos primers punts és:

$$x_2-x_1=\frac{18}{9}=\boxed2$$


Enunciat 22, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $a,b,c$ els tres costats, tal com es mostra a la figura:

Solució 22, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Llavors les tres mesures del dibuix es corresponen a les següents equacions:

$$ \begin{cases} a+c=10 \\ b+c=7 \\ 2a+2b=26 \\ \end{cases} $$

Restant les dues primeres equacions deduim que:

$$a-b=3\quad\Rightarrow\quad a = 3+b$$

Substituint a la tercera equació trobem $b$:

$$2a+2b=6+2b+2b=6+4b=26\quad\Rightarrow\quad 4b=20\quad\Rightarrow\quad b=5$$

Per tant:

$$a=3+b=3+5=8$$

I finalment:

$$a+c=10\quad\Rightarrow\quad8+c=10\quad\Rightarrow\quad c=2$$

Hem trobat que els tres costats mesuren $2,5,8$. Llavors, el volum és:

$$V=2\times5\times8=\boxed{80\text{ cm}^3}$$


Enunciat 23, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Considerem $4$ nombres consecutius qualsevols en aquest requadre: $a,b,c,d$. Com cada nombre és la suma dels dos que són a la vora, resulta que:

$$b = a + c$$ $$c = b + d$$

Si aïllem $c$ a la primera equació, tenim que $c=b-a$, i substituint a la segona:

$$b-a=b+d \quad\Rightarrow\quad -a=d$$

El que hem deduit, és que cada $3$ elements en aquesta seqüència, obtenim el nombre original amb el signe canviat. Si anem omplint a partir del $10$ i el $3$, obtenim:

Solució 23, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

I per tant, $x=-3+10=\boxed7$


Enunciat 24, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

La Isabel ha fet $6$ llargs de piscina, és a dir, $300\text{ m}$. Com en Simó corre $3$ cops més ràpid, en el mateix temps ha corregut $900\text{ m}$. Com sabem que ha fet $5$ voltes, una volta a la piscina mesura: $\frac{900}5=180\text{ m}$. Finalment, una volta a la piscina és la suma dels $4$ costats. Si anomenem $c$ el costat que no coneixem:

$$180=2\times50 + 2\times c\quad\Rightarrow\quad c=\frac{180-100}2=\boxed{40}$$


Enunciat 25, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Dels $130$ vots, queden per comptar:

$$\text{queden}=130-(24+29+37)=40$$

En el pitjor dels casos, en Biel rebria $8$ vots més, i llavors estarien empatats a $37$ i quedarien $32$ vots per comptar.

Per tant, la Carla necessitaria més de la meitat d'aquests $32$ vots, és a dir, un total de $\boxed{17}$.


Enunciat 26, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, comprovem que l'àrea del colom és exactament la meitat de la bandera. Ho podem fer trobant les següents equivalències (iguals colors són iguals àrees):

Solució 26, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Per tant, l'àrea de la bandera és:

$$A_\text{bandera}=192\times2=384$$

Sabem que la proporció de la bandera és $6$ a $4$, i per tant les mides $a,b$ compleixen:

$$\begin{cases} ab=384\\ 6a=4b \end{cases}$$

Resolem el sistema:

$$a=\frac46b\quad\Rightarrow\quad \frac46b^2=384\quad\Rightarrow\quad b^2=576\quad\Rightarrow\quad b=24\quad\Rightarrow\quad a=16$$

I per tant la bandera mesura $\boxed{24\text{ cm}\times16\text{ cm}}$.


Enunciat 27, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Fixem-nos que inicialment, cap de les $5$ parelles de nombres coincideixen.

Observem que els dos $3$ que tenim apareixen a la banda esquerra de les peces, i per tant li haurem de donar la volta a una de les dues peces que tenen un $3$. Aprofitant que els dos $1$ que tenim apareixen a la dreta, sembla que el més adient serà girar la peça $31$.

Però llavors cap de les $5$ parelles de nombres adjacents coincideixen. En substituir una peça per una altra, podem com a molt canviar $4$ adjacències, i per tant necessitarem dos moviments com a mínim.

Amb $3$ moviments en total, hem trobat la següent seqüència:

Solució 27, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya


Enunciat 28, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem dividir l'hexàgon en $6$ triangles equilàters formats pel centre i cadascun dels costats. Aquests triangles tenen un costat que és $\frac{DE}2$, i una àrea de $\frac16$.

Per tant, el triangle gran, que té un costat que és $3DE$, té un costat $6$ vegades més llarg que el dels triangles petits. Com ambdós són triangles equilàters, i per tant semblants, l'àrea del gran serà $6^2=36$ vegades major, és a dir:

$$A=36\cdot \frac16=\boxed6$$


Enunciat 29, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Suposem que ha fet $n$ salts quan porta una mitjana de $3.80$. Després de saltar $3.99$, la mitjana ha augmentat en $1$ cm:

$$3.81=\frac{3.80n+3.99}{n+1}\quad\Rightarrow\quad 3.81n+3.81=3.80n+3.99\quad\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\quad 0.01n=0.18 \quad\Rightarrow\quad n=18$$

Per tal que la mitjana augmenti un altre centímetre, necessitem que:

$$3.82=\frac{3.81\cdot19+x}{20}\quad\Rightarrow\quad 3.82\cdot20=3.81\cdot19+x\quad\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\quad 76.40 = 72.39 \quad\Rightarrow\quad x=4.01$$

Així, el pròxim salt ha de ser de $\boxed{4.01\text{ m}}$.


Enunciat 30, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, observem que com el triangle $\triangle MNP$ és isòsceles, els costats $MN$ i $NP$ són iguals, i per tant $LP=KN=MP$:

Solució 30, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Anomenem $\alpha$ l'angle que volem esbrinar i anomenem la resta d'angles amb diverses lletres gregues:

Solució 30, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

Ara anirem resolent poc a poc el valor de cadascun d'aquests angles.

Com els tres angles d'un triangle sumen $180^\circ$, tenim que:

$$\alpha+\alpha+\beta=180 \quad\Rightarrow\quad \beta=180-2\alpha$$

D'altra banda, $\delta$ és el suplementari de $\alpha$:

$$\delta = 180-\alpha$$

Els tres angles de $\triangle MKL$ també sumen $180^\circ$:

$$\delta+2\gamma=180\quad\Rightarrow\quad \gamma = \frac{180-\delta}2=\frac{180-(180-\alpha)}2=\frac\alpha2$$

I també sabem que els tres angles $\beta,\gamma,\varepsilon$ sumen $180^\circ$:

$$\beta+\gamma+\varepsilon=(180-2\alpha) +\frac\alpha2 + \varepsilon = 180 \quad\Rightarrow\quad \varepsilon=\frac32\alpha $$

Finalment, com $\triangle MNP$ és isòsceles, sabem que:

$$\zeta = \varepsilon + \gamma = \frac32\alpha + \frac\alpha2 = 2\alpha$$

Hem esbrinat, per tant, que el triangle té els següents angles:

Solució 30, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2018 a Catalunya

I com tots tres han de sumar $180^\circ$, $\alpha$ mesura:

$$5\alpha=180\quad\Rightarrow\quad \alpha=\boxed{36^\circ}$$