Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació.

Solucions del Cangur 2018 a Catalunya: 1r de batxillerat

26 de de juliol de 2018. Víctor López Ferrando.

Descobreix la Contrarellotge matemàtica, el portal de concursos matemàtics online.

Visita la Contrarellotge

Aquest és el recull de solucions del Nivell de 1r de batxillerat del Cangur de Catalunya de 2018. Els enunciats estan extrets del primer model d'examen del pdf d'enunciats. Les solucions estan amagades (cal fer clic per mostrar-les) perquè és recomanable pensar detingudament cada problema abans de mirar la solució que jo proposo!

Podeu accedir a les qüestions directament:

Els enunciats del Cangur són propietat de la Societat Catalana de Matemàtiques i Le Kangourou sans Frontières.


Qüestions de 3 punts


Enunciat 1, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Calculem el valor de l'operació:

$$\frac{20}{17}-\frac{20}{18}-\frac{2020}{1717}+\frac{2020}{1818}=\frac{20}{17}-\frac{20}{18}-\frac{11\cdot20}{11\cdot17}+\frac{11\cdot20}{11\cdot18}=$$ $$=\frac{20}{17}-\frac{20}{18}-\frac{20}{17}+\frac{20}{18}=\boxed0$$


Enunciat 2, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com a mínim hi han d'haver dues noies, per tal que cadascuna d'elles vegi l'altra. També cal que hi hagin tres nois, per tal que cadascun d'ells en vegi dos.

En total, com a mínim hi ha $2+3=\boxed5$ persones al grup.


Enunciat 3, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El tercer costat ha de ser major que $3$ (perquè si no, aquest costat amb el costat de mida $2$ no abarcarien el costat de longitud $5$).

De la mateixa manera, el costat ha de ser més petit que $7$, ja que si no, els costats $2$ i $5$ no arribarien a aquesta longitud.

Per tant, el tercer costat ha de tenir mida $\boxed5$.


Enunciat 4, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El radi dels cercles blancs és $1$, i per tant la seva àrea és:

$$A_\text{cercle petit}=\pi1^2=\pi$$

El radi del cercle gran és $2$, i per tant la seva àrea és:

$$A_\text{cercle gran}=\pi2^2=4\pi$$

Per tant, l'àrea grisa és:

$$A_\text{grisa}=4\pi-2\pi=\boxed{2\pi\text{ cm}^2}$$


Enunciat 5, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $a,b,c,d$ els quatre segments de la figura següents:

Solució 5, nivell de 1r de Batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Volem esbrinar el valodr de $ad$, i per l'enunciat, sabem que: $$ac=15,\quad bc=3,\quad bd=18$$ Però llavors: $$bd=18\quad\Rightarrow\quad b=\frac{18}d$$ $$bc=3\quad\Rightarrow\quad c=\frac3b=\frac3{\frac{18}d}=\frac{d}6$$ $$ac=a\cdot\frac{d}6=15\quad\Rightarrow\quad ad=6\cdot15=\boxed{90}$$


Enunciat 6, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $a, m, t$ les alçàries d'Aina, Miquel i la taula. Les dues situacions de l'enunciat es corresponen amb les següents equacions:

$$\begin{cases} t+a=m+80\ t+m=a+100 \end{cases}$$

Si sumem les dues equacions tenim:

$$2t+a+m=m+a+180\quad\Rightarrow\quad 2t=180\quad\Rightarrow\quad t=\boxed{90\text{ cm}}$$


Enunciat 7, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si el nombre del mig és $x$, llavors la suma de $x-2,x-1,x,x+1,x+2$ és $5x$. Per tant, $x$ és:

$$5x=10^{2018}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{10^{2018}}5=\frac{2\cdot5\cdot10^{2017}}5=\boxed{2\cdot10^{2017}}$$


Enunciat 8, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

És evident que la figura $Y$ té la meitat de l'àrea ombrejada. La següent figura ens ajuda a veure que $X$ i $Z$ també tenen la meitat de l'àrea ombrejada:

Solució 8, nivell de 1r de Batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Per tant, hem comprovat que $\boxed{X=Y=Z}$.


Enunciat 9, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Fem el càlcul:

$$\frac{25}{100}\cdot2018+\frac{2018}{100}\cdot25=\frac{25\cdot2018+25\cdot2018}{100}=\frac{2\cdot25\cdot2018}{2\cdot2\cdot25}=\frac{2018}2=\boxed{1009}$$


Enunciat 10, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Per arribar al punt del mig, hi ha $4$ camins diferents:

Solució 10, nivell de 1r de Batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Si ens fixem, des del punt del mig fins al punt $B$, els camins també són $4$, ja que el graf és equivalent.

Per tant, en total hi ha $4\cdot4=\boxed{16}$ camins possibles.


Qüestions de 4 punts


Enunciat 11, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El producte serà zero si alguna de les xifres és zero.

Comptem quants nombres de $4$ xifres no tenen cap zero. Cada dígit pot ser qualsevol entre l'$1$ i el $9$, per tant, hi ha $9$ opcions per cada dígit. En total, hi ha $9^4=6561$ nombres que no tenen cap zero.

Per tant, els nombres que tenen algun zero són:

$$9000-6561=\boxed{2439}$$


Enunciat 12, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si apareixen els $n$ primers nombres a la successió, cadascun $n$ cops, a la successió hi ha $\frac{n\cdot(n+1)}2$ elements. Per tant, $n$ és:

$$\frac{n\cdot(n+1)}2=105\quad\Rightarrow\quad n^2+n-210=0$$

Resolent l'equació de segon grau, tenim que:

$$n=\frac{-1\pm \sqrt{1+840}}{2}=\frac{-1\pm29}{2}=14$$

Per tant, els nombres divisibles per $3$ són $3,6,9,12$, que apareixen $3,6,9,12$ cops, en total:

$$3+6+9+12=\boxed{30}$$


Enunciat 13, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 14, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Una possible solució és que tots els trens anessin a $Q$, amb $10$ d'ells sortint de cadascuna de les altres ciutats. Per tant, la solució ha de ser $\boxed{40}$.


Enunciat 15, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

El $13\%$ dels estudiants de la universitat fan un idioma diferent de l'anglès, i representen un $65\%$ de tots els estudiants d'idiomes (perquè el $35\%$ fan anglès). Així doncs, el nombre total d'estudiants d'idiomes és:

$$P_\text{idiomes}=\frac{13}{0.65}=\boxed{20\%}$$


Enunciat 16, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem $p,g$ els diners que li van donar el pare i la germana major. Per l'enunciat sabem que:

$$p=\frac{g+10}2$$ $$g=\frac{p+10}3$$

Substituïm la $p$ a la segona equació:

$$g=\frac{\frac{g+10}2+10}3=\frac{\frac{g+10+20}{2}}{3}=\frac{g+30}{6}\quad\Rightarrow\quad 6g=g+30\quad\Rightarrow\quad g=6$$

Per tant, $p$ és:

$$p=\frac{6+10}2=8$$

I el llibre val:

$$8+6+10=24\text{ €}$$


Enunciat 17, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si el nombre és $abc$, és a dir, $100a+10b+c$, llavors la propietat de l'enunciat és:

$$10a+c=\frac{100a+10b+c}9\quad\Rightarrow\quad 90a+9c=100a+10b+c\quad\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\quad 10a+10b-8c=0$$


Enunciat 18, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 19, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 20, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Primer de tot, vegem en una figura el polígon i les dues diagonals:

Solució 00, nivell de 1r de Batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Hi ha $3$ polígons:

  • Entre el vèrtex $18$ i el $1018$, amb $1018-18+1=1001$ vèrtexs.
  • Entre el vèrtex $1018$ i el $2000$, amb $2000-1018+1=983$ vèrtexs.
  • Entre el vèrtex $2000$ i el $18$, amb $2018-2000+1+18+1=38$ vèrtexs.

Podem comprovar que la suma de vèrtexs coincideix amb els $2018$ vèrtexs del polígon original més $4$:

$$1001+983+37=2021=2018+4$$

Això és correcte perquè el vèrtex $2000$ apareix a $2$ polígons, el $18$ a $2$ polígons, i el $1018$ a $3$ polígons. Per tant, hem comptat $7$ cops aquests tres vèrtexs, $4$ cops més dels que apareixien en el polígon original.

Així, els vèrtexs dels tres polígons són:

$$\boxed{38, 983, 1001}$$


Qüestions de 5 punts


Enunciat 21, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 22, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si els nombres són $a,b,c,d$, l'enunciat ens diu que:

$$\frac{b+c+d}3+a=17$$ $$\frac{a+c+d}3+b=21$$ $$\frac{a+b+d}3+c=23$$ $$\frac{a+b+c}3+d=29$$

Multipliquem totes les equacions per $3$:

$$3a+b+c+d=3\cdot17$$ $$a+3b+c+d=3\cdot21$$ $$a+b+3c+d=3\cdot23$$ $$a+b+c+3d=3\cdot29$$

És evident que el nombre més gran serà $d$, ja que en multiplicar $d$ per $3$ és quan obtenim una major suma.

Sumem ara les equacions multiplicant-les:

$$-1\times(3a+b+c+d=3\cdot17)$$ $$-1\times(a+3b+c+d=3\cdot21)$$ $$-1\times(a+b+3c+d=3\cdot23)$$ $$5\times(a+b+c+3d=3\cdot29)$$

Les $a,b,c$ s'sanul·len, i obtenim:

$$12d=-3\cdot17-3\cdot21-3\cdot23+5\cdot3\cdot29\quad\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\quad4d=-17-21-23+5\cdot29=84\quad\Rightarrow$$ $$d=21$$

Per tant, el nombre més gran dels quatre és $\boxed{21}$.


Enunciat 23, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Comencem situant el punt $A_0$ a l'origen de la recta, és a dir, al punt $0$, i el punt $A_1$, que està a $1$ de distància:

$$A_0=0$$ $$A_1=1$$

Si el punt $A_n$ és el punt mig del segment $A_{n+1}A_{n+2}$, llavors:

$$A_n = \frac{A_{n+1}+A_{n+2}}2$$

Per tant:

$$A_{n+2} = 2A_{n}-A_{n+1}$$

Ja tenim doncs la fórmula per obtenir els següents valors de la seqüència. Anem calculant-los:

$$\begin{array}{ccc} \text{Punt} & \text{Càlcul} & \text{Valor} \ A_0 && 0 \ A_1 && 1 \ A_2 & 2\cdot0-1 & -1 \ A_3 & 2\cdot1-(-1) & 3 \ A_4 & 2\cdot(-1)-3 & -5 \ A_5 & 2\cdot3-(-5) & 11 \ A_6 & 2\cdot(-5)-11 & -21 \ A_7 & 2\cdot(11)-(-21) & 43 \ A_8 & 2\cdot(-21)-43 & -85 \ A_9 & 2\cdot43-(-85) & 171 \ A_{10} & 2\cdot(-85)-171 & -341 \ A_{11} & 2\cdot171-(-341) & 683 \ \end{array}$$

I la solució és:

$$A_{11}=\boxed{683}$$


Enunciat 24, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 25, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 26, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com que $2018=2\cdot1009$, només hi ha dues formes de formar un rectangle amb $2018$ quadrats: o bé $1\times2018$, o bé $2\times1009$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \blacksquare&3&\blacksquare&3&\blacksquare&\cdots&\blacksquare&3&\blacksquare\ \hline 2&\blacksquare&3&\blacksquare&3&\cdots&3&\blacksquare&2\ \hline \end{array}$$

Com el rectangle té longitud $1009$, i hi ha ha un nombre a cada columna, en total hi ha $1007$ tresos i $2$ dosos, i sumen:

$$3\cdot1007+2\cdot2=\boxed{3025}$$


Enunciat 27, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Posem les fitxes en ordre, una per cada columna. La fitxa de la primera columna pot anar a qualsevol de les $6$ files. La fitxa de la segona columna pot anar a una de $5$ files, ja que no pot coincidir amb l'anterior. La tercera fitxa té $4$ files per escollir.

En total, hi ha:

$$6\cdot5\cdot4=\boxed{120}\text{ maneres}$$


Enunciat 28, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 29, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾

Enunciat 30, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2018 a Catalunya

Mostra solució ▾