Víctor López Ferrando

email

github

Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació

Català   |   English RSS

Solucions del Cangur 2017 a Catalunya: Nivell 1r de batxillerat

Descobreix la Contrarellotge matemàtica! Les contrarellotges són concursos matemàtics online —similars a les proves Cangur—, que es desenvolupen en temps real. Visita la web per veure com van ser les últimes edicions, i quan seran les properes.

Ací teniu el recull de solucions del Nivell de 1r de batxillerat del Cangur de Catalunya de 2018. Els enunciats estan extrets del primer model d'examen del pdf d'enunciats. Les solucions estan amagades (cal fer clic per mostrar-les) perquè és recomanable pensar detingudament cada problema abans de mirar la solució que jo proposo!

Podeu accedir a les qüestions directament:

Els enunciats del Cangur són propietat de la Societat Catalana de Matemàtiques i Le Kangourou sans Frontières.


Qüestions de 3 punts


Enunciat 1, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si Maria dóna \(x\) euros a cadascun dels germans, ella es quedarà amb \(24-3x\) euros, i els seus germans en tindran \(12+x\). Per tal que tots acaben amb la mateixa quantitat s'ha de complir que:

$$ 24-3x=12+x \quad\Rightarrow\quad 12=4x \quad\Rightarrow\quad x=3 $$

Per tant, Maria ha de donar \(3\) € a cada germà.


Enunciat 2, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si Antoni és el cinquè a l'esquerra, vol dir que hi ha \(4\) nois entre els dos (per l'esquerra). Si és el vuitè per la dreta, hi ha \(7\) entre tots dos (per la dreta). En total són ells dos més els que tenen entre ells:

$$ 2+4+7=13 $$

En total hi ha \(13\) nois al cercle.


Enunciat 3, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Hi ha dues zones grises: la primera és la resta entre l'estel més gran i el segon més gran. La segona és la resta entre el segon estel més petit i el més petit. La suma és:

$$ (16-9)+(4-1)=7+3=10\text{ cm}^2 $$


Enunciat 4, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si al numerador li sumem i restem \(2017\), tenim:

$$ 2017^2+2017-2017-1=2017\times2018-2017-1=\\ =2017\times2018-2018=2016\times2018 $$

Veiem que el numerador és igual que el denominador, i per tant la fracció és \(1​\).


Enunciat 5, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Analitzem el moviment de la roda als cims i les valls:

Solució 5, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

I veiem que la D és la solució correcta.


Enunciat 6, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si comencem posant un nombre senar a dalt de tot, a sota d'ell ha d'haver-hi un senar i un parell:

$$ \begin{array}{ccc} &S&\\ S&&P\\ \end{array} $$

Com a molt, podrem posar dos nombres senars a sota:

$$ \begin{array}{ccccc} &&S&&\\ &S&&P&\\ P&&S&&S\\ \end{array} $$

I a sota del tot, podem posar \(3\) senars com a molt:

$$ \begin{array}{ccccccc} &&&S&&&\\ &&S&&P&&\\ &P&&S&&S&\\ S&&S&&P&&S\\ \end{array} $$

En total, hem posat \(7\) nombres senars.

Mai podrem posar \(8\) nombres senars, perquè llavors només en tindríem \(2\) de parells. Si provem, veiem que necessàriament hi ha d'haver algun dels dos nombres parells a la base i és impossible evitar que n'acaben apareixent més de \(2\).


Enunciat 7, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

El cercle dóna una volta sencera cada \(2\pi\text{ cm}\). Després de \(11\pi\text{ cm}\) haurà donat \(5\) voltes completes (es trobarà en la posició inicial), i després donarà mitja volta. Llavors, la posició final serà la B.


Enunciat 8, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si la mainada és la vuitena part dels assistents, \(\frac78\) dels assistents són adults. Dels adults, si \(\frac37\) són homes, llavors \(\frac47\) són dones. En total, la proporció de dones és:

$$ \text{dones}=\frac78\cdot\frac47=\frac48=\frac12 $$


Enunciat 9, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si guanya les \(5\) partides que li queden, en total n'haurà guanyat \(9+5=14\), d'un total de \(15+5=20\). El percentatge de victòries és:

$$ \text{victòries}=\frac{14}{20}\cdot100=14\cdot5=70\% $$


Enunciat 10, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Els estudiants poden traure \(6\) botons i que no n'hi hagen tres del mateix color (si són \(2\) vermells, \(2\) blancs i \(2\) blaus). Ara bé, en traure el \(7\text{è}\) botó, necessàriament hi haurà \(3\) botons del mateix color. Per tant, la solució és \(7\).


Qüestions de 4 punts


Enunciat 11, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si l'altura del trapezi (i del triangle) és \(h\), les àrees del triangle i del trapezi \(EBCD\) són:

$$ A_{AED}=\frac12\cdot AE\cdot h $$
$$ A_{EBCD}=\frac12\cdot (EB + CD)\cdot h $$

Si igualem les dues àrees, tenim que:

$$ AE=EB+CD $$

I si substituïm amb el que sabem:

$$ AE=(50-AE) + 20=70-AE \quad\Rightarrow\quad AE=35\text{ cm} $$


Enunciat 12, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si només un dels dos nombres \((n,\; n+20)\) és de \(4\) xifres, hi ha dues opcions: o bé \(n\) és de tres xifres i \(n+20\) de quatre, o bé \(n\) és de quatre xifres i \(n+20\) és de cinc xifres. Vegem cadascun dels casos.

Per tal que \(n\) siga de tres xifres i \(n+20\) siga de quatre, \(n\) pot ser:

$$n\in\{980,\; 981,\, \ldots,\; 999\}\quad\rightarrow\quad 20\text{ nombres}$$

Per tal que \(n\) siga de quatre xifres i \(n+20\) siga de cinc, \(n\) pot ser:

$$n\in\{9980,\; 9981,\, \ldots,\; 9999\}\quad\rightarrow\quad 20\text{ nombres}$$

En total, hi ha \(40\) nombres \(n\) que compleixen la propietat de l'enunciat.


Enunciat 13, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem dividir la figura en \(6\) parts iguals (des del centre de l'hexàgon), i estudiar la proporció en aquestes porcions:

Solució 13, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

La zona ombrejada és un triangle amb la base \(b\) i altura \(h\), mentre que el total és un triangle amb base \(b\) i altura \(2h\) (recordem que les perpendiculars al triangle gran tallen els costats oposats al punt mig).

Per tant, l'àrea ombrejada és la meitat de la total, i la relació és \(\frac12\).


Enunciat 14, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si anomenem \(x\) el nombre d'enmig dels tres, tenim que:

$$ (x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2=\\ =x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1=\\ =3x^2+2=770 $$

Per tant:

$$ 3x^2=768\quad\Rightarrow\quad x^2=256\quad\Rightarrow\quad x=16 $$

Finalment, el més gran dels tres nombres és \(x+1=17\).


Enunciat 15, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si la politja \(B\) fa \(4\) voltes mentre la \(A\) en fa \(5\), la relació dels seus perímetres és:

$$ 5P_A=4P_B $$

De la mateixa manera, segons l'enunciat:

$$ 7P_C=6P_B $$

Si \(P_C=30\), llavors \(P_A\) és:

$$ P_A=\frac45P_B=\frac45\cdot\frac76P_C=\frac{28}{30}\cdot30=28\text{ cm} $$


Enunciat 16, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem comptar totes les opcions:

$$ \begin{array}{rccccccc} 1&\circ&\_&\circ&\_&\circ&\_&\_\\ 2&\circ&\_&\circ&\_&\_&\circ&\_\\ 3&\circ&\_&\_&\circ&\_&\circ&\_\\ 4&\_&\circ&\_&\circ&\_&\circ&\_\\ 5&\_&\circ&\_&\circ&\_&\_&\circ\\ 6&\_&\circ&\_&\_&\circ&\_&\circ\\ 7&\_&\_&\circ&\_&\circ&\_&\circ\\ \end{array} $$

En total, hi ha \(7\) possibles calendaris per escollir.


Enunciat 17, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem considerar que els primers \(7\) dies ha plogut, i per tant haurà fet sol en \(7\) moments (matí o tarda). Com ha fet sol de tarda un dia més en total, repartim els \(7\) moments de sol en \(4\) dies de sol de tarda i \(3\) dies de sol de matí (dels \(7\) dies de pluja). Per arribar \(5\) matins i \(6\) tardes de sol, caldran dos dies més. Per exemple:

$$ \begin{array}{rcccccccccccccc} \text{Dia} & & 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9 \\ \hline \text{Matí} & & P& P& P& P& S& S& S& S& S \\ \text{Tarda} & & S& S& S& S& P& P& P& S& S \\ \end{array} $$

Així, calen \(9\) dies com a mínim.


Enunciat 18, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(t,v,p,o\) les alçades dels germans Toni, Víctor, Pere i Òscar. Anem resumint l'enunciat pas per pas.

Sabem que Toni és més baix que Víctor \((t<v)\) i que Toni és més alt que Pere \((p<t)\). A més, les diferències són iguals (l'anomenem \(d\)). A més, Òscar és més baix que Pere, amb \(d\) de diferència. Per tant:

$$ o\quad<\quad p\quad < \quad t \quad <\quad v $$

Però de fet, respecte a l'alçada de l'Òscar, la resta són:

$$ p=o+d,\quad t=o+2d,\quad v=o+3d $$

Sabem que Toni fa \(184\):

$$ o+2d=184 \quad\Rightarrow\quad d=92-\frac{o}2 $$

I la mitjana és \(178\):

$$ \frac{o+o+d+o+2d+o+3d}{4}=o+\frac32d=178 $$

Substituint amb la \(d\) anterior:

$$ o+\frac32\left(92-\frac{o}2\right)=178\quad\Rightarrow\quad 4o + 552-3o=712\quad\Rightarrow $$
$$ o=160\text{ cm} $$

Per tant, l'alçada de l'Òscar és de \(160\text{ cm}\).


Enunciat 19, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Adonem-nos que només hi ha \(4\) quadrats \(2\times2\), i que tots ells inclouen la casella central; per tant, la casella central no influeix en la suma i podem posar-hi un \(0\) per comoditat. Si anomenem \(a,b,c,d\) les altres caselles, tenim el quadrat:

$$ \begin{array}{ccc} 3 & a & 1\\ d & 0 & b\\ 2 & c & ?\\ \end{array} $$

I les quatre sumes que han de ser iguals són:

$$ 3+a+d = 1+a+b=2+d+c=b+c+? $$

De la primera igualtat deduïm que:

$$ 3+a+d=1+a+b\quad\Rightarrow\quad b=2+d $$

Substituint, a la última de les \(4\) igualtats anteriors, tenim que:

$$ 2+d+c=2+d+c+? $$

Per tant, s'ha de complir que \(?=0\).

Si continuéssim resolent el sistema, podriem trobar una solució (hi ha infinites):

$$ \begin{array}{rcc} 3 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ \end{array} $$


Enunciat 20, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Dels \(36\) resultats possibles, seran negatius els que siguin producte d'un nombre positiu per un negatiu o el d'un negatiu per un positiu:

$$ P=\frac{2\cdot3 + 3\cdot2}{36}=\frac{12}{36}=\frac13 $$

Qüestions de 5 punts


Enunciat 21, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Comencem descomposant \(882\) en el seus factors primers:

$$ 882=2\cdot3^2\cdot7^2 $$

Com les quatre han nascut a aquest segle, com a molt poden tenir \(17\) anys. Començant pel factor \(7\), només podrà aparéixer com a \(7\) o \(14\), ja que qualsevol altre producte serà major que \(17\). Dels factors que ens queden \((3^2)\), podem obtenir les dues edats diferents \(1\) i \(9\). Per tant, les edats són:

$$ \text{edats}=\{1, 7, 9, 14\} $$

Efectivament, el producte és \(1\cdot7\cdot9\cdot14=882\), i la suma és:

$$ \text{suma edats}=1+7+9+14=31 $$


Enunciat 22, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, observem que els nombres contigus tindran paritat diferent (tenen diferència \(1\)). Per tal que la suma sigui senar, cal que hi hagi un nombre senar de sumands senars. Dels \(7\) nombres, per tant, \(3\) han de ser senars: hauran de ser \(b, d, f\).

Per tant, els nombres \(a,c,e,g\) hauran de ser parells. Si \(a\) pot ser \(286\), també ho podrà ser \(g\) per simetria; si \(c\) pot ser \(286\), també ho podrà ser \(e\) per simetria. Provarem si és possible.

Per simplificar, calculem que \(286\cdot7=2002\), de manera que ens falten \(15\) fins arribar a \(2017\). Anotarem cada nombre respecte a 286, i buscarem sumar \(15\). Mirem si pot ser que \(a=286\):

$$ \begin{array}{ccccccccc} a&b&c&d&e&f&g&&\text{suma}\\ 0&1&2&3&4&3&2&&15 \end{array} $$

Provem ara amb \(c=286​\):

$$ \begin{array}{ccccccccc} a&b&c&d&e&f&g&&\text{suma}\\ 2&1&0&1&2&3&4&&13 \end{array} $$

Com a màxim, podem obtenir una suma de \(13​\), i no podem arribar a \(15​\).

Per tant, només poden ser \(286\) la \(a\) i la \(g\): l'opció D.


Enunciat 23, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem definir el número \(ababab\) com la suma:

$$ ababab = 100000a+10000b+1000a+100b+10a+b=\\ =(100000+1000+10)a + (10000+100+1)b=\\ =101010a+10101b $$

I resulta que \(101010=7\cdot14430\), i \(10101=7\cdot1443\), per tant:

$$ ababab=7\cdot(14430a+1443b) $$

Per tant, \(ababab\) segur que serà un múliple de \(7\).


Enunciat 24, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anem comptant per ordre:

  • Si tenim un \(7\), només hi ha \(1\) contrasenya possible: \(7777777\).
  • Si tenim un \(6\), només ens quedarà un espai que haurà d'omplir-se amb un \(1\), i tindrem \(2\) contrasenyes possibles: \(1666666,6666661\).
  • Si tenim un \(5\), tindrem les contrasenyes: \(2255555,5555522\).
  • Amb un \(4\), tenim més opcions. Si emplenem amb tresos, tenim dos ordres: \(3334444,4444333\), però podem omplir amb uns i dosos, i tindrem \(3!=3\cdot2=6\) ordres: \(1224444,1444422, 2214444,2244441,4444122,4444221\).

En total hi ha:

$$ N_{\text{contrasenyes}}=1+2+2+2+6=13 $$


Enunciat 25, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Fixem-nos que si dues persones contigües miren cap a la mateixa banda, no s'estaran donant la mà ni ara ni quan donim mitja volta:

$$ \cdots\rightarrow\rightarrow\rightarrow\cdots \quad\Rightarrow\quad \cdots\leftarrow\leftarrow\leftarrow\cdots $$

Podem simplificar el cercle i treure totes aquestes persones, deixant les 10 persones que es donen la mà:

$$ \cdots\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\cdots $$

Quan es donen la volta, tots ells es donaran la mà una altra vegada:

$$ \cdots\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\leftarrow\rightarrow\cdots $$

En definitiva, \(10\) persones acabaran donant-se la mà.


Enunciat 26, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Centrem-nos en un quart de la figura per simplificar:

Solució 29, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Aquest quart de la figura és un quadrat de costat \(h\). Aquesta \(h\) és l'altura del triangle equilàter, i la podem esbrinar per Teorema de Pitàgores:

$$ h=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3 $$

Per tant, l'àrea total del quadrat és:

$$ A_{\text{quadrat}}=h^2=75 $$

A aquesta àrea, però, li hem de restar el triangle rectangle isòsceles de catet \(x​\) de la cantonada. Però \(x​\) és \(h-5​\), i per tant, l'àrea d'aquest triangle és:

$$ A_{\text{triangle cantonada}}=\frac12x^2=\frac12(h-5)^2=\frac12(5\sqrt3-5)^2= $$
$$ =\frac{25}2(\sqrt3-1)^2=\frac{25}2(3-2\sqrt3+1)=50-25\sqrt3 $$

Per tant, l'àrea que busquem és:

$$ A=A_{\text{quadrat}} -A_{\text{triangle cantonada}} = 75-\left(50-25\sqrt3\right)=25(\sqrt3+1) $$

Recordem que només hem calculat un quart de la figura total. L'àrea total serà:

$$ A_{\text{figura}}=4\cdot A=100(\sqrt3+1) $$


Enunciat 27, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Per simplificar, suposem que els pesos són \(1,2,3,4,5,6\). En total, sumen \(1+2+3+4+5+6=21\), per tant, el plat que més pesa haurà de pesar \(11\) com a mínim.

Calculem ara totes les configuracions que pot tenir el plat més pesat:

$$ 1+4+6=11\\ 1+5+6=12\\ 2+3+6 = 11\\ 2+4+5=11\\ 2+4+6=12\\ 2+5+6=13\\ 3+4+5=12\\ 3+4+6=13\\ 3+5+6=14\\ 4+5+6=15 $$

En total, es tracta de \(10\) opcions diferent, i la massa \(6\) es troba en \(8\) d'elles. En total:

$$ P=\frac8{10}=80\% $$


Enunciat 28, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(r\) el radi de la circumferència \((AM=BM=r)\).

El triangle \(\triangle BMP\) és rectangle pel fet que la recta sigui tangent a la circumferència, i per tant es compleix el Teorema de Pitàgores:

$$ PB^2+r^2=PM^2 $$

Com segons l'enunciat, \(PB=PA+6\), tenim:

$$ (PA+6)^2 + r^2 = PM^2 $$

De fet, \(PM=PA+r\), per tant:

$$ (PA+6)^2 + r^2 = (PA+r)^2 $$

Desenvolupant:

$$ PA^2+12PA+36+r^2=PA^2+2\cdot r\cdot PA+r^2 $$
$$ r = \frac{12PA+36}{2PA} = 6+\frac{18}{PA} $$

Per tal que el radi sigui enter, \(PA\) ha de ser un divisor de \(36\). Com \(36=2\cdot3^2\), té \((1+1)\cdot(2+1)=6\) divisors, i la solució és \(6\).


Enunciat 29, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si \(u\) i \(v\) són les solucions, tenim l'equació:

$$ x^2+ux+v=(x-u)\cdot(x-v) $$

Desenvolupant el producte de la dreta:

$$ (x-u)\cdot(x-v)=\\ =x^2-ux-vx+uv=\\ =x^2+(-u-v)\cdot x+uv $$

Si igualem ara els coeficients dels dos polinomis, tenim el sistema:

$$ \begin{cases} u = -u -v\\ v = uv \end{cases} $$

Per la primera equació tenim que:

$$ v=-2u $$

Substituint a la segona:

$$ -2u = u\cdot(-2u)\quad\Rightarrow\quad u=u^2\quad\Rightarrow\quad u = {0, 1} $$

Per tant, hi ha \(2\) possibles solucions:

$$ (u, v)=\left\{(0, 0), (1, -1)\right\} $$


Enunciat 30, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Mostra solució ▾

Fem un dibuix i anem pas per pas explicant com l'hem construit:

Solució 5, nivell de 1r de batxillerat del Cangur 2017 a Catalunya

Hem fet una recta paral·lela a \(AB\) que passa pel punt \(N\), construint el triangle \(\triangle PNC\) (vermell), que és semblant al \(\triangle ABC\). Concretament, l'angle \(\widehat{NPC}\) és igual a l'angle \(\widehat{BAC}\) que se'ns demana, i l'anomenem \(\beta\).

Com que \(N\) és el punt mig de \(BC\), el triangle \(\triangle PNC\) (vermell) té els costats que són la meitat del triangle original. Concretament, fixem-nos que el costat \(PN=\frac{AB}2\).

Constrium ara el triangle blau \(\triangle MNP\), i calculem el que mesura \(MP\). Recordem que \(AP=\frac{AC}2\), i per tant:

$$ MP=\frac{AC}2-AM $$

D'altra banda, l'enunciat ens diu que \(M\) és el punt mig de \(AD\), i que \(DC=AB\), per tant:

$$ AM=MD=\frac{AC-AB}2 $$

Ja podem esbrinar el que mesura \(MP\):

$$ MP=\frac{AC}2-\left(\frac{AC-AB}{2}\right)=\frac{AB}2 $$

És a dir, que el triangle blau, \(\triangle MNP\), és isòsceles \((MP=PN=\frac{AB}2)\), amb \(\alpha\) com angle repetit. Per tant, el tercer angle mesura \(180-2\alpha\), però resulta que aquest és suplementari de \(\beta\), com veiem a la figura. En definitiva:

$$ \beta = 2\alpha $$