Víctor López Ferrando

email

github

Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació

Català   |   English RSS

Solucions del Cangur 2016 a Catalunya: Nivell 3r d'ESO

5 d'octubre de 2016.

Descobreix la Contrarellotge matemàtica! Les contrarellotges són concursos matemàtics online —similars a les proves Cangur—, que es desenvolupen en temps real. Visita la web per veure com van ser les últimes edicions, i quan seran les properes.

Aquest és el recull de solucions del Nivell de 3r d'ESO del Cangur de Catalunya de 2016. Els enunciats estan extrets del primer model d'examen del pdf d'enunciats. Si trobeu cap errada o teniu algun comentari o solució alternativa, no dubteu en fer un comentari a sota del tot.

Les solucions estan amagades (cal fer clic per mostrar-les) perquè és recomanable pensar detingudament cada problema abans de mirar la solució que jo proposo!

Podeu accedir a les qüestions directament:

Els enunciats del Cangur són propietat de la Societat Catalana de Matemàtiques i Le Kangourou sans Frontières.


Qüestions de 3 punts


Enunciat 1, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com \(2016\) té quatre xifres, aquestes es poden ordenar de \(4!=24\) formes. Com que no són tantes, les escriurem totes i descartarem les que no són hores possibles:

\(01:26\)
\(01:62\rightarrow \text{NO}\)
\(02:16\)
\(02:61\rightarrow \text{NO}\)
\(06:12\)
\(06:21\)
\(10:26\)
\(10:62\rightarrow \text{NO}\)
\(12:06\)
\(12:60\rightarrow \text{NO}\)
\(16:02\)
\(16:20\)
\(20:16\)
\(20:61\rightarrow \text{NO}\)
\(21:06\)
\(21:60\rightarrow \text{NO}\)
\(26:01\rightarrow \text{NO}\)
\(26:10\rightarrow \text{NO}\)
\(60:12\rightarrow \text{NO}\)
\(60:21\rightarrow \text{NO}\)
\(61:02\rightarrow \text{NO}\)
\(62:01\rightarrow \text{NO}\)
\(61:20\rightarrow \text{NO}\)
\(62:10\rightarrow \text{NO}\)

Les xifres de \(2016\) apareixen un total de \(10\) cops al rellotge, i la solució és la E.


Enunciat 2, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si comencem emplenant la fila de dalt, tenim dues opcions: posar-hi \(123\) o \(132\). A partir d'aquí, la resta està determinada unívocament. Si triem posar-hi \(123\), la segona fila haurà de ser \(312\), i la última, \(231\). De la mateixa forma, si posem \(132\) a la primera fila, les altres dues seran \(213\) i \(321\).

Així, hi ha \(2\) formes diferent d'emplenar la graella, i la solució és la B.


Enunciat 3, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Després d'apagar \(\frac34\) de les espelmes, en queden \(\frac14\) d'enceses, i l'enunciat ens diu que aquestes són \(3\). Llavors, la Rita té \(3\cdot4=12\) anys, la C.


Enunciat 4, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Hem de buscar entre les opcions un nombre que es puga expressar de dues formes diferents com a producte de dos números menors de \(10\). Busquem-lo:

  • \(16=4\cdot4\)
  • \(20=4\cdot5\)
  • \(24=3\cdot8 = 4\cdot6\)
  • \(28=4\cdot7\)
  • \(30=5\cdot6\)

Hem vist que el \(24\) es pot expressar de dues formes diferents i per tant la solució és la C.


Enunciat 5, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Hem de comptar quantes vegades canviarà de color cada casella a mesura que prenem les caselles. Després de prémer la de dalt a l'esquerra, tenim:

$$\begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 1 &0 &0 \end{array}$$

Quan prenem la d'enmig queda:

$$\begin{array}{ccc} 1 &2 &1 \\ 2 &1 &1 \\ 1 &1 &0 \end{array}$$

I en prémer la de dalt a la dreta:

$$\begin{array}{ccc} 2 &3 &2 \\ 2 &1 &2 \\ 1 &1 &1 \end{array}$$

Els números parells impliquen que una casella no canvia de color, de manera que només canvien de color les següents:

$$\begin{array}{ccc} - &X &- \\ - &X &- \\ X &X &X \end{array}$$

Fixant-nos en els colors inicials, al final queda:

$$\begin{array}{ccc} gris & gris & gris \\ blanc & blanc & blanc \\ gris & gris & gris \end{array}$$

En total queden \(6\) caselles grises: la C.


Enunciat 6, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si els quatre costats són múltiples de \(3\), podem escriure els seus costats com \(3x\) i \(3y\). El perímetre és \(2\cdot3x + 2\cdot3y\), i també el podem escriure com \(2\cdot3(x+y)=6(x+y)\). Veiem doncs que el perímetre ha de ser múltiple de \(6\). De les cinc opcions, només la D, \(36\), compleix aquesta condició.


Enunciat 7, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

La primera vegada els ocells han piulat, en ordre:

$$5 + 1 + 3 + 3 + 4 + 0 = 16$$

Quan un ocell es gire, només canviarà el sumand corresponent a aquest ocell, que veurà els ocells de l'altre costat. Cap ocell té el mateix nombre d'ocells a un costat i a l'altre, per tant, si només es gira un ocell, canviarà el resultat de la suma.

Si es giren dos ocells, és fàcil veure que és possible mantindre el resultat, si es giren els ocells dels dos extrems. El primer passarà de veure'n \(5\) a no veure'n cap, i l'últim passarà de \(0\) a \(5\):

$$0 + 1 + 3 + 3 + 4 + 5 = 16$$

En definitiva, la solució és la B.


Enunciat 8, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Respecte al costat d'unió, les peces tenen:

  • La peça esquerra té \(3\) forats orientats cap a la dreta i \(1\) orientat cap a l'esquerra.
  • La peça dreta té \(3\) sortints orientats cap a la dreta i \(1\) cap a l'esquerra.

Per tant, cada sortint cap a la dreta (\(3\)) pot encaixar amb \(3\) forats, i l'únic sortint cap a l'esquerra només pot encaixar amb un forat. En total:

$$3\cdot3 + 1\cdot1=10$$

Hi ha \(10\) formes d'encaixar les peces: la D.


Enunciat 9, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Calculem la longitud total que ha de saltar el cangur. Tenim \(6\) trams entre els \(7\) arbres, i cadascun mesura el doble de l'anterior, éssent \(1\) el primer:

$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$$

El cangur, que recorre \(1.5\text{ m}\) amb cada salt, haurà de saltar: \(\frac{63}{1.5}=42\) cops. Un truc per fer la divisió és multiplicar per \(2\) els dos nombres: \(\frac{126}{3}=42\). La solució és la C.


Enunciat 10, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Calculem quantes rajoles calen de cada tipus per enrajolar el terra.

Amb les de \(30\text{ cm}\), en calen \(10\times15=150\), ja que \(0.3\cdot(10\times15)=3\times4.5\).

Amb les de \(50\text{ cm}\), en calen \(6\times9=54\), ja que \(0.5\cdot(6\times9)=3\times4.5\).

Si cada rajola petita costa \(x\), en total costarà \(150x\) enrajolar el terra. Amb les grans, que valen el doble (\(2x\)), costarà \(54\cdot2x=108x\), i per tant és més barat fer-ho amb pel rajoles grans, les de Pere. La solució és la A.


Qüestions de 4 punts


Enunciat 11, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Primer adonem-nos que el camí es divideix en dos "nusos" que són simètrics, i que per tant aporten el mateix nombre de camins diferents. Analitzarem només un d'aquests, i sabem que el nombre total de camins serà el doble.

Començant a \(A\) i prenent el camí de dalt, tenim dues opcions: anar per dalt o anar per baix. Si anem per baix podem seguir \(4\) camins diferents (vermell):

Solució 11, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Si anem per dalt, podem seguir \(5\) camins diferents (blau i verd):

Solució 11, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

En total, hi ha \(2\cdot(4+5)=18\) maneres diferents d'anar d'\(A\) a \(B\), i la solució és la D.


Enunciat 12, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Al quadrat hi ha \(5·5=25\) quadradets, de manera que com a molt podrem posar \(6\) figures (\(6·4=24\) quadradets). Vegem que podem fer-ho:

Solució 12, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Així que la solució és la D.


Enunciat 13, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(x\) la longitud dels dos costats iguals del triangle isòsceles, i \(y\) el tercer costat. Com el seu perímetre és \(34\), sabem que:

$$2x + y = 34$$

El perímetre del trapezi de la figura conté \(5\) costats \(y\) i \(2\) costats \(x\) del triangle. Com el seu perímetre mesura \(74\) sabem que:

$$2x + 5y = 74$$

Podem esbrinar \(y\) restant-li a la segona equació la primera:

$$4y = 40\quad\Rightarrow\quad y=10$$

La base major del trapezi està formada per \(3\) costats \(y\), i per tant mesura \(3\cdot10=30\text{ cm}\): l'opció B.


Enunciat 14, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Tenim les següents xifres disponibles:

$$1,2,\ldots,8,9, 10,11,\ldots,18,19$$

Si comptem els cops que tenim cada xifra, tenim:

$$\begin{array}{ccl} \{0\} & \rightarrow & \text{1 cop} \\ \{1\} & \rightarrow & \text{12 cops} \\ \{2,3,\ldots,9\} & \rightarrow & \text{2 cops} \end{array}$$

El nombre més gran que podem fer és:

$$99887766554433\;2\;21111111111110$$

Tenim \(1+12+2\cdot8=29\) xifres, la d'enmig està en la possició \(15\), i és el \(2\). La solució és la B.


Enunciat 15, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Fem el següent dibuix:

Solució 15, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Hem construït un triangle rectangle de catets \(3\) (la meitat de la distància \(PQ=6\)), hipotenusa \(5\) (el radi de la circumferència) i catet \(x\), que volem esbrinar. Pel Teorema de Pitàgores:

$$3^2+x^2=5^2 \quad\Rightarrow\quad x^2=25-9=16 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{16}=4$$

Finalment, la distància entre els dos centres és \(2x=2\cdot4=8\): la solució és l'opció D.


Enunciat 16, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si dibuixem uns rectangles com a la figura següent:

Solució 16, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Podem veure que cada costat del quadrilàter \(EFGH\) és una diagonal d'un rectangle que deixa mig rectangle a dins de \(EFGH\) i mig rectangle fora, completant \(ABCD\). Per tant, l'àrea de \(ABCD\) és el doble que la de \(EFGH\) i per tant és \(2\cdot27=54\): l'opció A.


Enunciat 17, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Hi ha 12 persones que toquen un instrument, \(8\) són homes i \(4\) són dones. Com el \(60\%\) de les dones no toca cap instrument, això vol dir que el \(40\%\) sí que ho fan, i aquestes són les \(4\) dones que hem nomenat abans. Llavors, en total hi ha \(10\) dones (\(4\) que toquen i \(6\) que no). Finalment, si hi ha \(10\) dones, hi ha \(32-10=22\) homes, i la solució és la C.


Enunciat 18, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Centrant-nos en el vèrtex \(A\), podem observar que la longitud del perímetre exterior és igual a la suma del perímetre del rectangle gran més la meitat del perímetre del rectangle petit:

Solució 18, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

El mateix podem fer amb els altres dos rectangles petits. Llavors, el perímetre exterior és la suma del perímetre corresponent al rectangle gran més \(\frac12\) del perímetre dels rectangles petits:

$$30 + \frac12\cdot20 = 40$$

La solució és la B.


Enunciat 19, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Llegim l'enunciat amb deteniment i comptem quants partits ha guanyat cadascuna:

  • Agnieska: \(1\) (Simona)
  • Flavia: \(1\) (Petra)
  • Garbiñe: \(1\) (Venus) \(+\) \(1\) (Agnieska)
  • Serena: \(1\) (Ana) \(+\) \(1\) (Garbiñe) \(+\) \(1\) (Flavia)
  • Ana, Petra, Simona i Venus: \(0\)

A la final han arribat Garbiñe i Serena, que són les úniques que han guanyat \(2\) partits com a mínim. La solució és la B.


Enunciat 20, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc fixem-nos en els triangles equilàters "mitjans", que tenen els costats de \(5+2+5=12\), que podem veure en nombres negres a la figura:

Solució 20, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Coneixent la mesura d'aquest costat, veiem que la base del triangle gran conté dos costats (vermell i blau) que mesuren \(12\). Però aquests costats se superposen, concretament la mesura del costat dels triangles puntejats (\(5\) en verd), i per això el costat del triangle gran mesura \(12+12-5=19\), la solució és la B.


Qüestions de 5 punts


Enunciat 21, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si el nombre de dues xifres és \(ab\), el seu valor és \(10a + b\). Si en sumar-li \(36\) el resultat és \(ba\), llavors es compleix l'equació:

$$(10a + b) + 36 = 10b + a$$

Si ho reordenem:

$$9b - 9a = 36 \quad\Rightarrow\quad b-a = \frac{36}9 = 4$$

Recordem que \(a\) i \(b\) són menors que \(10\), i a més \(a\) és major que \(1\), per tal que el nombre tinga dues xifres. Les possibles solucions són:

  • \(5-1 = 4\)
  • \(6-2 = 4\)
  • \(7-3 = 4\)
  • \(8-4 = 4\)
  • \(9-5 = 4\)

Hi ha \(5\) nombres que compleixen aquesta propietat (\(15, 26, 73, 48, 59)\) i per tant la solució és la E.


Enunciat 22, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si el Daniel se n'ha trobat quatre, això vol dir que se'ls ha trobat a tots, incloent l'Eugeni.

Com l'Andreu només s'ha trobat un dels quatre, s'haurà trobat en Daniel, qui, com hem dit, se'ls ha trobat a tots.

En Christian se n'ha trobat a \(3\). Podem descartar que s'haja trobat l'Andreu, i per tant s'ha trobat els altres tres: Bernat, Daniel i Eugeni.

En Bernat se n'ha trobat a dos, que ja hem esbrinat: Daniel i Christian.

Per tant, l'Eugeni s'ha trobat \(2\) dels seus amics: Daniel i Christian, i la solució és la C.


Enunciat 23, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, comptem el nombre de vasos, que anomenarem \(v\). Sabem que la meitat, de la meitat de la meitat és \(3\), per tant:

$$\frac{\frac{\frac{v}2}2}2 = 3\quad\Rightarrow\quad\frac{v}8=3 \quad\Rightarrow\quad v=24$$

D'altra banda, si anomenem \(p\) el nombre de persones de la festa, sabem que \(\frac{p}2\) van usar un vas, i \(\frac{p}2\) persones en van usar \(2\), per tant:

$$\frac{p}2 + 2\cdot\frac{p}2 = 24 \quad\Rightarrow\quad \frac32p=24 \quad\Rightarrow\quad p=16$$

A la festa hi havia \(16\) persones, és a dir, l'opció B.


Enunciat 24, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(x\) el nombre de bales que tenen les deu noies al principi. Si la mitjana disminueix en una, això vol dir que:

$$\frac{x}{10} = \frac{x+1}{11} + 1$$

Si operem aquesta igualtat, tenim:

$$\frac{x}{10} = \frac{x+12}{11} \quad \Rightarrow \quad 11x = 10x+120 \quad \Rightarrow \quad x = 120$$

Llavors, entre les onze tenen \(120+1=121\) bales, i la solució és la D.


Enunciat 25, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si seguim els moviment de les rodes dentades i les cordes, podem deduir tots els moviments:

Solució 25, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

I cap amunt van els pesos \(1\) i \(3\), la solució E.


Enunciat 26, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Provarem de posar un \(0\), un \(1\) o un \(2\) al cercle amb l'interrogant i veurem si podem omplir la resta de la figura.

Si posem un \(0\), aviat podem trobar una configuració que funciona:

Solució 26, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Anomenem \(x\) el nombre de l'interrogant, i \(a,b,c,d\) la resta de nombres:

Solució 26, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

No serà possible triar \(x=1\), perquè els dos triangles de la dreta tindran la mateixa suma \((c+d+1)\), i no pot ser que un siga múltiple de \(3\) i l'altre no.

Tampoc serà possible fer \(x=2\), perquè llavors els dos triangles de l'esquerra tindran la mateixa suma \((a+b+2)\), i no podrà ser que un sigui múltiple de \(3\) i l'altre no.

Llavors, la única opció és el \(0\), i la solució la A.


Enunciat 27, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(h\) l'altura de cada franja, de manera que l'altura del triangle és \(5h\). De manera anàloga, anomenem \(b\) la base del petit triangle superior, de manera que la resta de franges tenen una base de \(2b, 3b, 4b\) i el triangle gran té una base \(5b\) (pel Teorema de Tales). Podem calcular la proporció grisa amb:

$$\frac{A_{gris}}{A_{total}} = \frac{A_{triangle\ petit} + A_{trapezi_1} + A_{trapezi_2}}{A_{triangle\ gran}}$$

Calculem ara l'àrea de cadascuna d'aquestes figures, recordant que l'àrea d'un trapezi és la meitat de l'altura per la suma de les bases:

$$A_{triangle\ gran}=\frac12·5b·5h = \frac{25}2bh$$
$$A_{triangle\ petit} = \frac12bh$$
$$A_{trapezi_1} = \frac12·(2+3)b·h = \frac52bh$$
$$A_{trapezi_2} = \frac12·(5+4)b·h = \frac92bh$$

I ara fem la divisió:

$$\frac{A_{gris}}{A_{total}} = \frac{\frac12bh+\frac52bh+\frac92bh}{\frac{25}2bh}= \frac{1+5+9}{25}=\frac{15}{25}=\frac{60}{100} = 60\%$$

I la solució és la A.


Enunciat 28, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(x\) el preu de l'entrada, i \(a\) el nombre de persones més grans de \(65\) anys. Podem plantejar el problema amb l'equació:

$$a\cdot(x-3) + (11-a)\cdot x = 61$$

Operant tenim:

$$11x = 61 + 3a$$

Provem ara les opcions que ens plantegen:

  • \(a=5 \quad\rightarrow\quad x=\frac{76}{11} \quad\rightarrow\quad \text{no enter}\)
  • \(a=6 \quad\rightarrow\quad x=\frac{79}{11} \quad\rightarrow\quad \text{no enter}\)
  • \(a=7 \quad\rightarrow\quad x=\frac{82}{11} \quad\rightarrow\quad \text{no enter}\)
  • \(a=8 \quad\rightarrow\quad x=\frac{85}{11} \quad\rightarrow\quad \text{no enter}\)
  • \(a=9 \quad\rightarrow\quad x=\frac{88}{11} = 8\)

Per tant hi ha \(9\) persones majors de \(65\) anys: l'opció E.


Enunciat 29, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Començant pel vèrtex de dalt a l'esquerra, podem triar qualsevol dels \(3\) colors.

Seguidament, triarem els dos vèrtexs adjacents al primer (dalt a la dreta i baix a l'esquerra). Per cadascun d'aquests \(2\) podem triar qualsevol dels \(2\) colors diferents al primer. En total hi ha \(4\) opcions: en \(2\) els dos colors triats són els mateixos, i en les altres \(2\) són diferents.

Si els colors triats són diferents, l'últim vèrtex només pot tindre una opció. Si els colors són iguals, a l'últim vèrtex podem triar \(2\) opcions de colors.

En total, les opcions són:

$$3\cdot(2\cdot1 + 2\cdot2) = 3\cdot6=18$$

I la solució és la B.


Enunciat 30, nivell de 3r d'ESO del Cangur 2016 a Catalunya

Mostra solució ▾

Comencem comptant les hores completes en què hi ha un \(2\) al rellotge: a les \(02, 12, 20, 21, 22, 23\). Durant \(6\) hores hi ha un \(2\) a la pantalla.

De les \(18\) hores restants, entre el minut \(20\) i el minut \(29\) hi haurà un \(2\) també al rellotge. Això són \(10\) minuts per cadascuna de les \(18\) hores: \(18\cdot 10\text{ min}=180\text{ min}=3\text{ h}\).

Dels \(50\) minuts restants de les \(18\) hores, també apareixerà un \(2\) als minuts \(02, 12, 32, 42, 52\), és a dir, \(5\) minuts per cadascuna de les \(18\) hores: \(18\cdot 5\text{ min}=90\text{ min}=1\text{ h i }30\text{ min}\).

El temps total serà:

$$6\text{ h} + 3\text{ h} + 1\text{ h i }30\text{ min} = 10\text{ h i } 30\text{ min}$$

I l'opció A és la correcta.