Víctor López Ferrando

email

github

Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació

Català   |   English RSS

Solucions del Cangur 2015 a Catalunya: Nivell 3

Descobreix la Contrarellotge matemàtica! Les contrarellotges són concursos matemàtics online —similars a les proves Cangur—, que es desenvolupen en temps real. Visita la web per veure com van ser les últimes edicions, i quan seran les properes.

Ací he fet un recull amb solucions per totes les qüestions del Nivell 3 del Cangur de Catalunya de 2015. Els enunciats estan extrets del pdf d'enunciats del cangur, en concret, del primer model d'examen (hi ha altres models amb les opcions ABCDE de cada qüestió permutades).

Les solucions estan amagades (cal fer clic per mostrar-les) perquè és recomanable pensar detingudament cada problema abans de mirar la solució que jo proposo!

Podeu accedir a les qüestions directament:

Els enunciats del Cangur són propietat de la Societat Catalana de Matemàtiques i Le Kangourou sans Frontières.


Qüestions de 3 punts


Enunciat 01, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Per saber la xifra de les unitats, podem centrar-nos només en la xifra de les unitats de la suma i els productes, de manera que serà:

$$\text{xifra_unitats}(2015^2+2015^1+2015^1+2015^5) =$$
$$=\text{xifra_unitats}(5^0+5^1+5^2+5^5)$$

Fixem-nos que les potències de \(5\) (excepte \(5^0\)) sempre tenen un \(5\) com a xifra de les unitats: com \(5\cdot5=25\) i la xifra de les unitats és \(5\) i ho seguirà sent a mesura que multipliquem per \(5\).

Llavors, la suma queda:

$$\text{xifra_unitats}(5^0 + 5^1 + 5^2 + 5^5) =$$
$$=\text{xifra_unitats}(1 + 5 + 5 + 5)=$$
$$=\text{xifra_unitats}(16)=6$$

I la solució és la C.


Enunciat 02, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Busquem nombres de la forma \(abbaab\) amb \(a\neq0\) (perquè \(abbaab\) ha de ser major que \(100000\). Per ser múltiples de \(15\), han de ser múltiples de \(3\) i de \(5\), ja que \(15=3\cdot5\).

Un número és múltiple de \(3\) quan la suma de les seues xifres és múltiple de \(3\), en el nostre cas, la suma de les xifres és \(a+b+b+a+a+b=3a+3b=3(a+b)\) de manera que \(abbaab\) sempre és múltiple de \(3\), qualsevols que siguin \(a\) i \(b\).

Per ser múltiple de \(5\), un número ha d'acabar en \(0\) o \(5\). Si el número acaba en \(0\) (\(b=0\)), \(a\) pot prendre \(9\) valors: \(a=1,2,3,\ldots,9\). Si acaba en \(5\), llavors \(a\) pot prendre \(8\) valors diferents: \(a=1,2,3,4,6,7,8,9\).

En total, hi ha \(9+8=17\) opcions diferents, la D.


Enunciat 03, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si reorganitzem la zona ombrejada, veiem que ocupa exactament meitat l'àrea del quadrat:

Solució 03

L'àrea del quadrat (de costat \(a\)) és \(a^2\), per tant l'àrea ombrejada és \(\frac{a^2}{2}\), la B.


Enunciat 04, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(a, b,c\) les quantitats que s'han gastat cadascuna, que són:

$$a=1.6,\quad b=1,\quad c=0.4$$

En total s'han gastat \(3\)€, de manera que les galetes que li correspondrien a l'Anna són: \(30\cdot\frac{1.6}{3}=16\). Com que se n'han repartit \(10\) cadascuna, a Anna li haurien tocat \(6\) galetes més. La E.


Enunciat 05, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com el tresor ha d'estar a menys de \(5 \text{ m}\) de l'arbre, la zona forma un cercle centrat a l'arbre. La zona, però, no inclou el cercle complet perquè el tresor ha d'estar a \(5 \text{ m}\) de la tanca, tal com es veu a la figura:

Solució 05

I ens quedem amb la forma B.


Enunciat 06, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Podem començar plantejant que:

  • Pel primer dau sabem que hi ha com a mínim \(2 \text{ Sí}\).
  • Pel segon dau sabem que hi ha com a mínim \(1 \text{ Potser}\).
  • Pel tercer dau sabem que hi ha com a mínim \(2 \text{ No}\).

Així doncs, com a mínim hi ha \(2\) \(\text{Sí}\), i com a màxim n'hi haurà \(3\).

Suposem que hi ha només \(2 \text{ Sí}\).

Si només hi ha \(2\) \(\text{Sí}\), aleshores són els mateixos els del primer dau que els del segon. Agafant el primer dau com a referència, veiem que això significa que a sota (en el primer dau) hi ha un \(\text{Potser}\).

Si ara ens fixem en el tercer dau, haurem de veure que el \(\text{Sí}\) que hi apareix s'ha de correspondre amb algun dels \(2\) \(\text{Sí}\) del primer dau. En qualsevol dels dos casos, això significaria que a sota (en el primer dau) hi hauria un \(\text{No}\), cosa que és falsa, ja que anteriorment hem vist que a sota hi ha un \(\text{Potser}\).

De manera que han d'haver \(3\) \(\text{Sí}\), i la probabilitat és:

$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

I la solució és la B.


Enunciat 07, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(i\) i \(e\) el nombre d'alumnes a qui els agraden només la informàtica i només els esports respectivament. A més, sabem que hi ha \(3\) alumnes a qui els agraden amdues coses. Com en total hi ha \(33\) alumnes, tenim que:

$$i+e+3=33\quad \Rightarrow \quad i+e=30$$

També sabem que hi ha el doble d'alumnes a qui agraden només la informàtica que el nombre d'alumnes a qui agraden només els esports:

$$i=2e\quad$$

Si substituïm a la primera equació:

$$2e+e=30 \quad \Rightarrow \quad e=10 \quad \Rightarrow \quad i=20$$

I per tant la informàtica agrada a \(20+3=23\) alumnes (a \(20\) exclusivament i a \(3\), junt als esports). La solució és l'opció E.


Enunciat 08, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Un nombre és un quadrat quan es pot expressar com a \(x^2\). Quan expressem un nombre com al producte de potències de factors primers, aquest serà un quadrat si tots els exponents són parells, i serà un cub si tots els exponents són múltiples de \(3\).

En les opcions que tenim, \(6^{13}=2^{13}\cdot3^{13}\), i com \(13\) no és parell ni múltiple de \(3\), no és ni un quadrat ni un cub, i la solució és la A.

Per assegurar-nos, podem veure que la resta sí que són quadrats o cubs:

$$ \begin{array}{l} 5^{12}=5^{2\cdot6}=(5^6)^2\\ 4^{11}=2^{2^{11}}=(2^{11})^2\\ 3^{10}=3^{2\cdot5}=(3^5)^2\\ 2^{9}=2^{3\cdot3}=(2^3)^3 \end{array}$$

Enunciat 09, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Amb les \(100\) espelmes, d'entrada, té per \(100\) dies.

Amb la cera que li ha sobrat (de \(100\) espelmes), en pot fer \(\frac{100}{7}=14\), i li sobra cera de \(2\) espelmes (\(2\) és el residu de \(100:7\)).

Quan crema les \(14\) espelmes, en pot fer \(2\) més, i quan les crema, li acaba sobrant la cera de \(4\) espelmes (\(2\) de sobra que tenia i \(2\) més d'ara),que ja no pot reutilitzar.

En total, ha tingut per:

$$100 + 14 + 2 = 116$$

L'opció E.


Enunciat 10, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En un pentàgon convex, la suma dels seus angles interiors és \(540^\circ\). No és un valor que hagem de recordar sinó que és molt fàcil de deduir. Si sabem que els angles d'un triangle sumen \(180^\circ\), pensem que podem dividir un pentàgon en \(3\) triangles interiors, i per tant els seu angles sumen \(180\cdot3=540^\circ\), tal com es mostra a la figura següent:

Solució 10

Dit açò, podem provar a construir pentàgons amb \(0,1,2,3\) angles rectes, i veiem que ho podem fer:

Solució 10

A l'hora de fer un pentàgon amb \(4\) angles rectes ens trobem amb un problema: si els angles del pentàgon sumen \(540^\circ\) i \(4\) angles són de \(90^\circ\), el cinquè angle mesurarà \(540-4\cdot90=180^\circ\), la qual cosa és impossible.

Per tant, únicament podem construïr pentàgons amb \(0,1,2,3\) angles rectes, i la solució és la B.


Qüestions de 4 punts


Enunciat 11, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Descomposem \(2015\) en factors primers:

$$2015=5\cdot13\cdot31$$

L'única manera de dividir aquests factors entre les edats de pare i fill, sense que cap d'aquestes edats supere els 100 anys és:

$$5\cdot13=65, \quad 31$$

La diferència és \(65-31=34\), i la solució és la D.


Enunciat 12, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Com que és més curt anar per la hipotenusa d'un triangle rectangle que pels dos catets, avançarem quan puguem per les diagonals. Així doncs, caminarem primer per dues diagonals, per acabar fent dos costats, tal com es mostra a la figura:

Solució 12

Pel teorema de Pitàgores sabem que la diagonal mesura \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\), i la distància total és:

$$\sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 + 1=2+2\sqrt{2}$$

La solució D.


Enunciat 13, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(i, d, t\) les orelles que tenen Imi, Dimi i Trimi respectivament. Cadascú veu les orelles dels altres dos, de manera que tenim:

$$d+t=8\\i+t=7\\i+d=5$$

Volem saber quant val \(t\). Podem esbrinar-ho sumant les dues primeres equacions i restant la tercera:

$$(d+t)+(i+t)-(i+d)=8+7-5$$
$$2t=10 \quad\Rightarrow\quad t=5$$

Trimi té \(5\) orelles, i la solució és la A.


Enunciat 14, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Si les solucions de l'equació són \(p_1, p_2\), també podem escriure l'equació com:

$$(x-p_1)(x-p_2)=0$$

I multiplicant:

$$x^2-(p_1+p_2)x+p_1p_2=0$$

Per tant:

$$p_1 + p_2 = 85$$
$$p_1p_2 = c$$

Per tal que la suma de dos primers resulti en \(85\), un ha de ser parell i l'altre senar; però només hi ha un nombre primer parell: \(2\). Aleshores, les solucions del sistema són:

$$p_1=2, \quad p_2=83$$

I \(c\) val:

$$c=p_1p_2=2\cdot83=166$$

La suma de les seues xifres és \(1+6+6=13\), i la solució correcta és la B.


Enunciat 15, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc observem que l'àrea ombrejada és la meitat del quadrat \(EFGH\):

Solució 15

L'àrea d'aquest quadrat serà la longitud del seu costat (per exemple \(HE\)) al quadrat, és a dir:

$$\text{àrea ombrejada} = \frac{HE^2}{2}$$

Com l'àrea del quadrat \(ABCD\) és \(80\), el seu costat serà:

$$AB=\sqrt{80}$$

Com \(AE=3EB\), en el triangle rectangle \(\triangle AHE\), els catets mesuren \(\frac{AB}{4}, \frac{3AB}{4}\). Pel teorema de Pitàgores:

$$HE^2=\left(\frac{AB}{4}\right)^2+\left(\frac{3AB}{4}\right)^2=$$
$$=\left(\frac{\sqrt{80}}{4}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{80}}{4}\right)^2= \frac{80+9\cdot80}{16}=\frac{800}{16}=50$$

I l'area ombrejada és:

$$\text{àrea ombrejada} = \frac{HE^2}{2}=\frac{50}{2} = 25$$

Per tant, la solució és la D.


Enunciat 16, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, té \(2\) opcions: posar els diccionaris a l'esquerra o posar-los a la dreta de les novel·les.

Després pot ordenar les dues novel·les de \(2\) formes.

Per últim, pot ordenar els diccionaris de \(3!=3\cdot2=6\) formes. Recordem que el nombre de formes d'ordenar un conjunt s'anomena permutacions, i el número de permutacions de \(n\) elements és el factorial: \(n!\).

Per tant, pot ordenar-ho de \(2\cdot2\cdot6=24\) formes. La solució és la B.


Enunciat 17, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Quan el cub està totalment submergit, els volums són:

$$V_{total}= V_{aigua} + V_{cub}$$

Per submergir el cub, l'aigua arriba als \(2\text{ cm}\) d'altura (l'aresta del cub), i per tant el \(V_{total}\) és:

$$V_{total} = 10^2\cdot2 = 200\text{ cm}^3$$

El volum del cub és:

$$V_{cub} = 2^3 = 8\text{ cm}^3$$

I aleshores el volum d'aigua és:

$$V_{aigua} = V_{total} - V_{cub} = 200 - 8 = 192\text{ cm}^3$$

L'altura de l'aigua quan no està el cub (la \(h\) que volem esbrinar) és:

$$V_{aigua}=10^2h \quad \Rightarrow \quad h=\frac{V_{aigua}}{100}=\frac{192}{100}=1,92\text{ cm}$$

La solució és la A.


Enunciat 18, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, l'afirmació es refereix a nombres primers, de manera que l'opció \(n=21\) no ens serveix per contradir-la. Calculem \(n \rightarrow(n-2, n+2)\) per a les altres quatre opcions, i subratllem els primers:

$$\begin{array}{ccc} 11 & \rightarrow & \left(9,\ \underline{13}\right)\\ 19 & \rightarrow & \left(\underline{17},\ 21\right)\\ 29 & \rightarrow & \left(27,\ \underline{31}\right)\\ 37 & \rightarrow & \left(35,\ 39\right)\\ \end{array} $$

Per a \(n=37\), ni \(n-2\) ni \(n+2\) són primers, de manera que veiem que l'afirmació de l'enunciat és falsa. La solució és la E.


Enunciat 19, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem el nombre \(abc\), i sabem que \(a>0\). Si dues xifres adjacents qualssevol difereixen en \(3\), vol dir que les parelles \((a,b)\) i \((b,c)\) difereixen en \(3\). Farem una llista dels diferents valors que poden prendre \(a\) i \(c\) per al cada valor de \(b\):

$$\begin{array}{clc} b & abc & \text{#} \\ \hline 0 & 303 & 1 \\ 1 & 414 & 1 \\ 2 & 525 & 1 \\ 3 & 636, 630 & 2 \\ 4 & 141, 147, 741, 747 & 4 \\ 5 & 252, 258, 852, 858 & 4 \\ 6 & 363, 369, 963, 969 & 4 \\ 7 & 474 & 1 \\ 8 & 585 & 1 \\ 9 & 696 & 1 \\ \end{array}$$

La suma és:

$$1+1+1+2+4+4+4+3=20$$

En total hi ha \(20\) números diferents, i la solució és la D.


Enunciat 20, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anem a fixar-nos en algunes propietats del gràfic de barres per tal d'anar descartant opcions:

  • A: a simple vista podria ser correcta.
  • B: no pot ser perquè el \(3\) i el \(4\) són iguals, i \(3\) hauria de ser més gran.
  • C: no pot ser perquè l'\(1\) i el \(3\) són iguals, i l'\(1\) hauria de ser més gran.
  • D: no pot ser perquè el \(2\) hauria de ser el més petit, no el \(4\).
  • E: no pot ser perquè l'\(1\) no hauria de ser més gran que la resta junts.

Així doncs, la solució és la A.


Qüestions de 5 punts


Enunciat 21, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Les potències de \(2\) menors que \(100\) són:

$$ \begin{array}{ccl} 2^0&=&1\\ 2^1&=&2\\ 2^2&=&4\\ 2^3&=&8\\ 2^4&=&16\\ 2^5&=&32\\ 2^6&=&64\\ \end{array} $$

En total són \(7\) potències diferents, de manera que sumar-ne \(6\) és el mateix que restar-ne una a la suma total. Les sumes de potències de \(2\) compleixen que:

$$2^0+2^1+\cdots+2^n=2^{n+1}-1$$

En el nostre cas,

$$2^0+2^1+\cdots+2^6=2^7-1=127$$

Per tal de tenir un resultat entre \(10\) i \(99\) traient un terme de la suma, només ens val treure \(64\) i \(32\), ja que altrament el resultat serà major que \(99\).

Per tant, només hi ha \(2\) possibles resultats entre \(10\) i \(99\), la solució C.


Enunciat 22, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(x\) i \(y\) el preu de compra dels cotxes. Els ha venut per \(1,4x\) i \(1,6y\). En conjunt, ha guanyat el \(54\%\) és a dir:

$$1,4x + 1,6y = 1,54(x+y)$$

Quina és la relació \(x:y\)? Vegem:

$$1,4x + 1,6y = 1,54x+1,54y$$
$$ 0,06y=0,14x $$
$$ \frac{x}{y}=\frac{0,06}{0,14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

Per tant, tenim la relació \(x:y=3:7\), i la solució és la D.


Enunciat 23, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, és evident que la regió superior conté un número \(3\). Si anomenem \(x\) el nombre de la regió inferior central, tenim que la regió inferior esquerra conté \(x+1\). Com podem veure a la figura:

Solució 23

Aleshores, sobre la regió \(1\) i la regió \(?\) sabem que:

$$1 = 3\, +\, ? + (x+1) \quad \Rightarrow \quad ? = -x-3$$
$$? = 1 + 2 + x \quad \Rightarrow \quad ? = x + 3$$

Si sumem les dues equacions, tenim que:

$$2\cdot? = 0 \quad \Rightarrow \quad ? = 0$$

I la solució és la A.


Enunciat 24, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Segons l'enunciat, \(BX:XA=4:1\), per tant:

$$\frac{BX}{AB} = \frac{BX}{BX+XA} = \frac{4}{5}$$

Anomenem \(h\) l'altura del triangle, \(b\) la base \((AC)\), \(b_x\) i \(b_y\) les bases dels triangles superiors, i \(h_x\) i \(h_y\) l'altura d'aquests triangles superiors amb \(X\) i \(Y\) a la base, tal com es mostra a la figura:

Solució 24

Pel teorema de Tales, sabem que:

$$\frac{BX}{AB} = \frac{b_x}{b}=\frac{h_x}{h} = \frac{4}{5}$$
$$\frac{BY}{AB} = \frac{b_y}{b}= \frac{h_y}{h}$$

Calculem ara les àrees de les zones ombrejades. En el primer triangle, l'àrea serà el triangle gran menys el triangle superior (d'altura \(h_x\)). En el segon cas, és l'àrea del triangle superior (d'altura \(h_y\)). Com les dues àrees són iguals, tenim:

$$\frac{bh}{2}-\frac{b_xh_x}{2}=\frac{b_yh_y}{2} \quad \Rightarrow \quad bh = b_xh_x+b_yh_y\quad \Rightarrow$$
$$1=\frac{b_xh_x}{bh}+\frac{b_yh_y}{bh}=\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{BY}{AB}\right)^2\quad \Rightarrow$$
$$\left(\frac{BY}{AB}\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\quad \Rightarrow \quad \frac{BY}{AB} = \sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5} $$

Calculem ara la relació que volem esbrinar:

$$\frac{BY}{YA}= \frac{BY}{AB-BY}=\frac{3}{5-3}=\frac{3}{2}$$

La relació és \(BY:YA=3:2\), és a dir, l'opció B.


Enunciat 25, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Un camí que passa per totes les arestes d'un graf i i torna al vèrtex inicial sense repetir cap aresta s'anomena camí eulerià. En el cas del cub, els vèrtexs i arestes es corresponen als vèrtexs i arestes d'un graf que volem recórrer.

La formiga, com a mínim, haurà de recórrer \(12\) arestes, però malauradament n'haurà de recórrer més. Per tal que sobre un graf hi haja un camí eulerià, tots els vèrtexs han de tenir un nombre parell d'arestes. En el cas del cub, cada vèrtex té exactament \(3\) arestes, de manera que no hi ha cap camí eulerià disponible.

Per saber quantes arestes haurà de recórrer com a mínim la formiga, ens podem inventar unes arestes suplementàries, per tal de convertir el graf en eulerià. L'objectiu serà fer que el nombre d'arestes de cada vèrtex siga parell. La manera d'aconseguir açò amb el mínim nombre d'arestes suplementàries és fer que a cada vèrtex arriben \(4\) arestes, i ho podem fer com a la figura següent:

Solució 25

Ara, els \(12\) vèrtexs del cub tenen \(4\) arestes cadascun, i per tant la formiga té un camí eulerià (que comença i acaba al mateix punt i sense repetir arestes). La formiga no repetirà arestes del graf, però evidentment passarà dos cops per les arestes del cub que tenen un camí suplementari.

En total, la formiga recorrerà \(16\text{ dm}\), i la solució és la D.


Enunciat 26, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, tractem d'esbrinar quants nombres té la llista inicial, és a dir, quant val \(n\).

La mitjana aritmètica que busquem és:

$$\frac{1+2+\cdots+n-x}{n-1}=4,75=\frac{19}{4}$$

Podem deduir doncs que \(n-1\) és múltiple de \(4\). En ser \(n-1\) múltiple de \(4\), \(n\) podria ser \(n=9,13,\ldots\)

Però no pot ser \(13\), perquè la mitjana seria massa gran. Encara que treiéssim el número \(13\), la mitjana quedaria:

$$\frac{1+2+\cdots+12+13-13}{13-1}=\frac{78}{12}=6,5>4,75$$

Llavors, \(n=9\), i busquem ara quin número hem eliminat:

$$\frac{1+2+\cdots+9-x}{9-1}=\frac{45-x}{8}=\frac{19}{4} \quad \Rightarrow$$
$$ \frac{45-x}{2}=19\quad \Rightarrow \quad 45-x=38 \quad \Rightarrow \quad x=7$$

Així doncs, hem hagut d'eliminar el número \(7\) de la successió per tal d'obtindre la mitjana que buscàvem. La solució és la D.


Enunciat 27, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Anomenem \(n\) el nombre de punts marcats, i que volem esbrinar. Anomenem \(a\) i \(b\) el nombre de punts que deixem a l'esquerra quan triem els punts que intereseccionen \(80\) i \(90\) segments respectivament.

Quan hem deixat \(a\) punts a l'esquerra, en queden \(n-a-1\) i a la dreta, i el mateix passa per \(b\). El nombre de segments que intersecciona un punt és el producte del nombre de punts que té a cada costat. Per tant:

$$80=a(n-a-1)$$
$$90=b(n-b-1)$$

Si partim \(80\) com a producte de dos termes \(80=xy\), el primer serà \(a=x\) i el segon serà \(n-a-1=y\), de manera que \(n=y+x+1\).

Provem totes les maneres de fer aquestes particions tenint en compte la factorització de \(80\):

$$80=2^4\cdot5$$

Les formes en què es pot dividir aquest producte és:

$$\begin{array}{lcccc} 80=(1)\cdot(5\cdot2^4) & \Rightarrow & a=1 & \Rightarrow & n=81 \\ 80=(5)\cdot(2^4) & \Rightarrow & a=5 & \Rightarrow & n=22 \\ 80=(5\cdot2)\cdot(2^3) & \Rightarrow & a=10 & \Rightarrow & n=19 \\ 80=(5\cdot2^2)\cdot(2^2) & \Rightarrow & a=20 & \Rightarrow & n=25 \\ 80=(5\cdot2^3)\cdot(2) & \Rightarrow & a=40 & \Rightarrow & n=43 \\ \end{array}$$

De totes les opcions que tenim, només pot ser correcta la E, amb \(n=22\).

Podem comprovar-ho amb el \(90\):

$$90=2\cdot3^2\cdot5=(2\cdot3)\cdot(3\cdot5)=b(21-b) \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Enunciat 28, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Tenim deu nombres diferents \(x_1,x_2,\ldots,x_{10}\), i anomenem \(x\) el seu producte: \(x=x_1x_2\cdots x_{10}\). Veiem que si \(x_1\) és el producte dels altres nou, vol dir que:

$$x_1=\frac{x}{x_1} \quad \Rightarrow \quad x_1^2=x \quad \Rightarrow \quad x_1=\pm\sqrt{x}$$

De la mateixa manera, si \(x_2\) és el producte dels altres nou, aleshores:

$$x_2=\pm\sqrt{x}$$

Com els números han de ser diferents, pot ser que \(x_1=\sqrt{x}\), i \(x_2=-\sqrt{x}\), però si cap altre nombre és el producte dels altres nou, haurà de ser necessàriament igual que \(x_1\) o \(x_2\). Per tant, com a màxim, es poden subratllar \(2\) nombres: la B.


Enunciat 29, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

En primer lloc, dibuixem la figura:

Solució 29

Si anomenem \(\alpha\) l'angle i \(b\) la base del triangle, i recordem que en un triangle rectangle, la tangent d'un angle és el catet oposat dividit pel catet contigu, tenim les relacions:

$$\tan 2\alpha = \frac{3}{b}$$
$$\tan \alpha = \frac{1}{b}$$

Recordem també l'expressió de la tangent de l'angle doble:

$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

Si substituïm, trobem que:

$$\frac{3}{b} = \frac{2 \tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
$$\frac{3}{b} = \frac{2 \frac{1}{b}}{1-\left(\frac{1}{b}\right)^2} = \frac{\frac{2}{b}}{1-\frac{1}{b^2}} = \frac{\frac{2}{b}}{\frac{b^2-1}{b^2}} = \frac{2b^2}{b^3-b} \quad \Rightarrow$$
$$ 3b^3-3b=2b^3 \quad \Rightarrow \quad 3b^2-3=2b^2 \quad \Rightarrow \quad$$
$$ b^2=3 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{3} $$

Com que la base és \(\sqrt{3}\), la bisectriu, que és la hipotenusa d'un triangle rectangle amb catets \(1\) i \(\sqrt{3}\), mesura:

$$x^2 = 1^2 + \sqrt{3}^2 = 1 + 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{4} = 2$$

Llavors, la solució és la C.


Enunciat 30, nivell 3 del Cangur 2015 a Catalunya

Mostra solució ▾

Solució 1

Com que \(a, b, c\) són diferents, la desigualtat es decideix per la xifra de les desenes, i queda:

$$0<a<b<c<10$$

Ara hem de contar de quantes maneres diferents de triar aquests tres nombres. Podem començar comptant per ordre:

$$ \begin{array}{rcl} a=1, \; b=2, \; c=3,\ldots,9 \; & \rightarrow & \; 7 \text{ opcions}\\ a=1, \; b=3, \; c=4,\ldots,9 \; & \rightarrow & \; 6 \text{ opcions}\\ a=1, \; b=4, \; c=5,\ldots,9 \; & \rightarrow & \; 5 \text{ opcions}\\ & \cdots & \\ a=1, \; b=8, \; c=9 \; & \rightarrow & \; 1 \text{ opció}\\ \end{array} $$

De manera que amb \(a=1\), hi ha \(7+6+5+\cdots+1\) opcions. De manera anàloga, podem veure que quan \(a=2\), hi ha \(6+5+4+\cdots+1\) opcions. I així fins quan \(a=7\), on necessàriament \(b=8\) i \(c=9\). En total doncs, tenim les opcions:

$$ \begin{array}{cccccccccc} 7&+&6&+&5&+&\cdots&+&1&+ \\ &&6&+&5&+&\cdots&+&1&+ \\ &&&&&&&&\cdots&+ \\ &&&&&&2&+&1&+ \\ &&&&&&&&1 \end{array} $$

Podem fer aquesta suma de diverses maneres, per exemple, per files o per columnes. Si la fem per columnes, la suma ens queda:

$$7\cdot1 + 6\cdot2 + 5\cdot3 + 4\cdot4 + 3\cdot5 + 2\cdot6 + 1\cdot7 = $$
$$7+12+15+16+15+12+7=84$$

La suma és \(84\) i la solució és la A.

Solució 2

La solució anterior requereix comptar totes les opcions, però ho podem resoldre d'una manera més senzilla amb algunes nocions de combinatòria. Hem de triar tres números diferents \(a,b,c\) d'entre \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Per triar \(a\) tenim \(9\) opcions, per triar \(b\) tenim \(8\) opcions (no podem triar el mateix que \(a\)), i per triar \(c\) ens queden \(7\) opcions. En total, podem triar-los de \(9\cdot8\cdot7\) formes.

Hem triat \(a,b,c\) de totes les maneres possibles, sense tenir en compte que \(a<b<c\). Però podem comptar quantes combinacions són correctes. Cada trio de números, per exemple \((2,5,8)\) l'hem triat en totes les seves possibles permutacions:

$$ (a,b,c)=(2,5,8),(2,8,5),(5,2,8),(5,8,2),(8,2,5),(8,5,2) $$

Però només una d'elles és correcta, la que està en ordre creixent: \((2,5,8)\). Com que es tracta de \(3\) nombres, el número de permutacions és el factorial: \(3!=3\cdot2=6\). Com només una permutació és correcta, en total hi ha:

$$\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2}=84$$

I la solució és la A.