Víctor López Ferrando

email

github

Víctor López Ferrando

Matemàtiques, informàtica, política i divulgació

Català   |   English RSS

La paradoxa dels dos asos

25 de juliol de 2016. Aquest article es pot llegir també en anglès.

Fa uns dies, el meu antic company d'equip de programació Ivan Geffner em va proposar la curiosa paradoxa matemàtica que a continuació explicaré. Aquest problema apareix al llibre Reasoning about uncertainty de Joseph Halpern, professor a la Universitat de Cornell, on Ivan fa el seu doctorat. Vegem en què consisteix.

Plantejament

Un amic nostre ens proposa un joc amb quatre cartes: l'as d'oros, l'as d'espases, el tres i el quatre de copes. Repetidament, el nostre amic baralla les cartes i nosaltres en triem dues a l'atzar:

Cartes barallades Triem dues cartes a l'atzar entre les quatre de la figura

I ens proposa:

—Et jugaries 1€ a que tens la parella d'asos? Si la tens, et dono 4€.

Com som gent raonable, farem uns petits càlculs probabilístics abans d'entrar al joc. Comprovem que hi ha 6 possibles combinacions de dues cartes, totes igual de probables:

Possibles combinacions de cartes Les sis possibles tries de dues cartes

Així, a la llarga, només guanyarem 1 cop de cada 6, i per tant perdrem 6€ per guanyar-ne només 4. I li diem al nostre amic: no penso jugar!

El nostre amic continua barallant les quatre cartes i repartint-nos parelles. Mira les cartes que hem descartat, i per tal de fer-nos el joc més atractiu, ens comenta:

Proposta #1. —Pel que veig, almenys tens un as, vols jugar ara?

Mostra resposta

De les sis combinacions inicials, podem descartar el cas en què tenim el tres i el quatre, ja que sabem que almenys tenim un as. Llavors queden cinc possibilitats:

Combinacions amb un as

Hi ha 1 opció entre 5 que tinguem els dos asos, i per tant perdríem 5€ per tal de guanyar-ne 4. Altre cop contestem: no vull jugar!

Fent un gran esforç, l'amic continua barallant i intenta fer propostes encara més atractives, com aquesta:

Proposta #2. —Ara tens l'as d'oros, t'animes a jugar?

Mostra resposta

Com sabem que tenim l'as d'oros, només hi ha tres combinacions possibles:

Combinacions amb l'as d'oros

Així, cada tres cops que juguem, guanyarem un cop, és a dir, guanyarem 4€ per cada 3€ que ens juguem! Llavors li diem a l'amic: sí que vull jugar!

De la mateixa manera, després de tornar a repartir, l'amic ens proposa:

Proposta #3. —Ara tens l'as d'espases, juguem?

Mostra resposta

Aquest cas és igual que l'anterior i també volem jugar! Com tenim l'as d'espases, només hi ha tres combinacions possibles:

Combinacions amb l'as d'espases

La paradoxa

Emprenyat, el nostre amic ens evidencia la paradoxa:

—Quan et dic que tens l'as d'oros o que tens l'as d'espases, vols jugar. En canvi, quan et dic que tens un as (sense especificar quin) et negues a jugar. Però si en tens un és evident que serà o bé el d'oros o bé el d'espases!

Quina és l'explicació d'aquesta paradoxa?

Mostra resposta

La realitat és que ens hem precipitat una mica a l'hora de jugar-nos els estalvis, i hem calculat algunes probabilitats sense tenir en compte la dinàmica del joc.

La clau radica en la informació que ens dóna el nostre amic, especialment quan tenim els dos asos. Si tenim els dos asos, què ens diu: que tenim el d'espases o que tenim el d'oros? Suposem que ens diu aleatòriament una de les dues coses i tornem a calcular les probabilitats.

Quan el nostre amic ens diu que tenim l'as d'oros, hi ha tres possibilitats:

  • Tenim l'as d'oros i el tres de copes, amb probabilitat \(\frac16\).
  • Tenim l'as d'oros i el quatre de copes, amb probabilitat \(\frac16\).
  • Tenim els dos asos (probabilitat \(\frac16\)), i el nostre amic ha decidit dir-nos que tenim l'as d'oros (amb probabilitat \(\frac12\)). En total, la probabilitat és \(\frac16\cdot\frac12=\frac1{12}\).

Probabilitats del jocAnàlisi dels casos en què l'amic ens diu que tenim l'as d'oros o l'as d'espases.

Per tant, la probabilitat de tindre els dos asos quan el nostre amic ens diu que tenim l'as d'oros és:

$$P=\frac{\frac1{12}}{\frac16 + \frac16 + \frac1{12}} = \frac{\frac1{12}}{\frac5{12}} = \frac15$$

En resum, serà millor que no juguem en cap dels casos.

Per entendre aquesta paradoxa hem hagut de pensar amb una mica de rigor la manera com es desenvolupa el joc, per no tenir en compte probabilitats aïllades que no es corresponen amb el problema real. Joseph Halpern presenta al seu llibre un marc matemàtic molt ampli amb mesures de probabilitat, condicionament, expectativa, protocols, etc. que formalitza conceptes necessaris per plantejar i resoldre estos problemes de manera satisfactòria.