Hi ha $\boxed{6}$ camins possibles:

Provant una mica és fàcil adonar-se que la multiplicació ha de ser:

$$13\times24=312$$

Per tant la suma dels tres dígits és:

$$S=1+4+1=\boxed6$$

Simplifiquem la fracció:

$$\frac{2018+2018}{2018+2018+2018}=\frac{2\cdot2018}{3\cdot2018}=\boxed{\frac23}$$

En primer lloc, intentem esbrinar la mida del rectangle. Anomenem $a,b$ els dos costats del rectangle (el nombre de files i columnes de quadradets).

Sabem que $a\times b=12$, i que $a>1$. Per poder parlar d'una fila del mig, cal que $a$ sigui senar, i per tant $b$ ha de ser parell.

La descomposició en factors primers de $12$ és $12=2^2\cdot3$. Per tant, necessàriament el nombre de files i columnes serà: $a=3, b=4$.

La fila del mig té $4$ quadrats, i sense pintar en queden $12-4=\boxed{8}$.

Identifiquem el segment $TE$ amb la recta real, on $T=0$ i $E=16$, i anem situant-hi la resta de punts.

Com que $TA=\frac14TE=\frac14\cdot16=4$, el punt $A$ es troba a $A=4$.

Com que $TR=\frac78TE=\frac78\cdot16=14$, $R=14$.

I com que $AI=\frac12TE=8$, llavors $I=A+8=12$.

Per tant, l'ordre és:

$$T=0,\ A=4,\ I=12,\ R=14,\ E=16 \quad\Rightarrow\quad \boxed{TAIRE}$$

Si el regal fos a la caixa $1$, llavors les dues primeres pistes serien certes, cosa que no pot ser.

Si el regal fos a la caixa $2$, cap de les tres pistes seria certa, però sabem que una ho ha de ser.

Per tant, el regal és $\boxed{\text{A la caixa }3}$.

L'àrea del triangle $\triangle DCM$ és igual al quadrilàter $AMCN$, i per tant, és el doble que la del triangle $\triangle AMC$, que és la meitat del quadrilàter.

Si el costat del quadrat és $c$, llavors l'àrea del triangle $\triangle AMC$ és:

$$A_{\triangle AMC}=\frac12\cdot1\cdot c=\frac{c}2$$

D'altra banda, l'àrea del triangle $\triangle MDC$ és:

$$A_{\triangle MDC}=\frac12\cdot(c-1)\cdot c=\frac{c^2-c}2$$

Com hem dit, $2A_{\triangle AMC}=A_{\triangle MDC}$, per tant:

$$2\cdot\frac{c}2=\frac{c^2-c}2\quad\Rightarrow\quad 2c=c^2-c\quad\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\quad c^2=3c\quad\Rightarrow\quad c=3$$

Finalment, el perímetre del quadrat és $4\cdot3=\boxed{12\text{ cm}}$.

Cada menú té $5$ opcions de primer ($2$ amanides o $3$ sopes), $5$ segons, i $4$ postres. El nombre total de menús diferents és el producte:

$$N=5\cdot5\cdot4=\boxed{100}$$

El quadrat central té costat $1$, i per tant àrea $1^2=1$.

Els quatre triangles són triangles rectangles isòsceles amb hipotenusa $1$. Si els catets són $c$, pel Teorema de Pitàgores:

$$c^2+c^2=1^2\quad\Rightarrow\quad c^2=\frac12$$

L'àrea de cada triangle rectangle és $\frac{c^2}2=\frac14$.

La suma de l'àrea del quadrat i la dels quatre triangles és:

$$A=1+4\cdot\frac14=1+1=\boxed2$$

Com els equips han de ser paritaris, com a mínim caldran $8$ dones més per igualar-se a $19$.

A més, cal que el nombre de dones i homes sigui divisible per $8$, i el menor múltiple de $8$ major que $19$ és $24$.

En total, caldran:

$$N=8+(24-19)\cdot2=8+5\cdot2=\boxed{18}$$

Fixem-nos que inicialment, cap de les $5$ parelles de nombres coincideixen.

Observem que els dos $3$ que tenim apareixen a la banda esquerra de les peces, i per tant li haurem de donar la volta a una de les dues peces que tenen un $3$. Aprofitant que els dos $1$ que tenim apareixen a la dreta, sembla que el més adient serà girar la peça $31$.

Però llavors cap de les $5$ parelles de nombres adjacents coincideixen. En substituir una peça per una altra, podem com a molt canviar $4$ adjacències, i per tant necessitarem dos moviments com a mínim.

Amb $\boxed3$ moviments en total, hem trobat la següent seqüència:

És evident que la figura $Y$ té la meitat de l'àrea ombrejada. La següent figura ens ajuda a veure que $X$ i $Z$ també tenen la meitat de l'àrea ombrejada:

Per tant, hem comprovat que $\boxed{X=Y=Z}$.

Anomenem $a,b,c,d$ els quatre segments de la figura següents:

Volem esbrinar el valor de $ad$, i per l'enunciat, sabem que: $$ac=15,\quad bc=3,\quad bd=18$$ Però llavors: $$bd=18\quad\Rightarrow\quad b=\frac{18}d$$ $$bc=3\quad\Rightarrow\quad c=\frac3b=\frac3{\frac{18}d}=\frac{d}6$$ $$ac=a\cdot\frac{d}6=15\quad\Rightarrow\quad ad=6\cdot15=\boxed{90}$$

Dels $130$ vots, queden per comptar:

$$\text{queden}=130-(24+29+37)=40$$

En el pitjor dels casos, en Biel rebria $8$ vots més, i llavors estarien empatats a $37$ i quedarien $32$ vots per comptar.

Per tant, la Carla necessitaria més de la meitat d'aquests $32$ vots, és a dir, un mínim de $\boxed{17}$.

Si la Carme ha gastat $c$, llavors la Berta ha gastat $0.15c$ i l'Àlia $1.6c$. En total, les tres han gastat:

$$1.6c+0.15c+c=2.75c=55$$

Podem aïllar la $c$ i esbrinem que la Carme va gastar:

$$c=\frac{55}{2.75}=20$$

Per tant, Àlia va gastar:

$$a=1.6c=\boxed{32}$$

Anomenem $a,b,c$ els tres costats, tal com es mostra a la figura:

Llavors les tres mesures del dibuix es corresponen a les següents equacions:

$$ \begin{cases} a+c=10 \\ b+c=7 \\ 2a+2b=26 \\ \end{cases} $$

Restant les dues primeres equacions deduim que:

$$a-b=3\quad\Rightarrow\quad a = 3+b$$

Substituint a la tercera equació trobem $b$:

$$2a+2b=6+2b+2b=6+4b=26\quad\Rightarrow\quad 4b=20\quad\Rightarrow\quad b=5$$

Per tant:

$$a=3+b=3+5=8$$

I finalment:

$$a+c=10\quad\Rightarrow\quad8+c=10\quad\Rightarrow\quad c=2$$

Hem trobat que els tres costats mesuren $2,5,8$. Llavors, el volum és:

$$V=2\times5\times8=\boxed{80\text{ cm}^3}$$

Com que hi ha un esglaó del mig, el nombre d'esglaons ha de ser senar. De les opcions que ens queden, només $45$ pot ser, ja que les altres $(21,23)$ són nombres massa petits: després de pujar $7$ esglaons des del mig, ja quasi ha arribat a dalt de tot, i no li queda un terç.

En canvi, des de l'esglaó del mig d'una escala de $45$ esglaons, el $23$, puja $7$ esglaons i es situa al $30$, i li'n queden $15$ per pujar dalt de tot, i $15$ és $\frac{45}3$.

Per tant, la solució és $\boxed{45}$.

En primer lloc, comprovem que l'àrea del colom és exactament la meitat de la bandera. Ho podem fer trobant les següents equivalències (iguals colors són iguals àrees):

Per tant, l'àrea de la bandera és:

$$A_\text{bandera}=192\times2=384$$

Sabem que la proporció de la bandera és $6$ a $4$, i per tant les mides $a,b$ compleixen:

$$\begin{cases} ab=384\\ 6a=4b \end{cases}$$

Resolem el sistema:

$$a=\frac46b\quad\Rightarrow\quad \frac46b^2=384\quad\Rightarrow\quad b^2=576\quad\Rightarrow\quad b=24\quad\Rightarrow\quad a=16$$

I per tant la bandera mesura $\boxed{24\text{ cm}\times16\text{ cm}}$.

Anomenem $a$ els anys que ara té l'Anna. Les seves germanes ara tenen les següents edats:

$$a-1,\quad a-2,\quad a-5$$

L'any vinent, tindran:

$$a,\quad a-1,\quad a-4$$

Com aquestes tres edats sumen $20+a+1$, podem trobar $a$:

$$a+a-1+a-4=20+a+1\quad\Rightarrow\quad 2a=26\quad\Rightarrow\quad a=13$$

Així doncs, l'Anna té $\boxed{13}$ anys.

El cavaller mai pot tallar un nombre de caps que sigui un múltiple de $3$. Altrament, després de tallar els últims $3$ caps n'hauria de tallar un més. Per tant, la solució és $\boxed{99}$, l'únic múltiple de $3$ que hi ha entre les opcions.

Anomenem $x$ la distància entre el primer edifici i la parada (la distància amb el segon edifici serà $250-x$). Llavors la distància total que recorreran tots els estudiants serà:

$$d(x)=100x + 150(250-x)=150\cdot250-50x$$

Per tal de minimitzar aquesta distància, hem de triar una $x$ el més gran possible, és a dir, $x=250$. Per tant, la millor opció és posar la parada $\boxed{\text{davant del segon edifici}}$.

Provant per a nombres petits, trobem que:

$$\frac{(1+10)}{1}=11$$ $$\frac{(2+10)}{2}=6$$ $$\frac{(5+10)}{5}=3$$ $$\frac{(10+10)}{10}=2$$

Per a valors més grans de $10$, és evident que no trobarem més nombres $M$, perquè:

$$1<\frac{M+10}{M} < 2,\quad\text{si } M > 10$$

Per tant, hi ha $\boxed4$ enters $M$ que compleixen la condició de l'enunciat.

Una altra forma de fer el problema és adornar-nos que si $\frac{M+10}{M}=n$, on $n$ és enter, s'ha de complir que:

$$\frac{M+10}{M}=n\quad\Rightarrow\quad 1+\frac{10}{M}=n$$

Com $\frac{10}M$ ha de ser enter, i $10=2\cdot5$, hi ha tants denominadors $M$ com divisors de $10$: $1,2,5,10$, $\boxed4$ en total.

En primer lloc, observem que com el triangle $\triangle MNP$ és isòsceles, els costats $MN$ i $NP$ són iguals, i per tant $LP=KN=MP$:

Anomenem $\alpha$ l'angle que volem esbrinar i anomenem la resta d'angles amb diverses lletres gregues:

Ara anirem resolent poc a poc el valor de cadascun d'aquests angles.

Com els tres angles d'un triangle sumen $180^\circ$, tenim que:

$$\alpha+\alpha+\beta=180 \quad\Rightarrow\quad \beta=180-2\alpha$$

D'altra banda, $\delta$ és el suplementari de $\alpha$:

$$\delta = 180-\alpha$$

Els tres angles de $\triangle MKL$ també sumen $180^\circ$:

$$\delta+2\gamma=180\quad\Rightarrow\quad \gamma = \frac{180-\delta}2=\frac{180-(180-\alpha)}2=\frac\alpha2$$

I també sabem que els tres angles $\beta,\gamma,\varepsilon$ sumen $180^\circ$:

$$\beta+\gamma+\varepsilon=(180-2\alpha) +\frac\alpha2 + \varepsilon = 180 \quad\Rightarrow\quad \varepsilon=\frac32\alpha $$

Finalment, com $\triangle MNP$ és isòsceles, sabem que:

$$\zeta = \varepsilon + \gamma = \frac32\alpha + \frac\alpha2 = 2\alpha$$

Hem esbrinat, per tant, que el triangle té els següents angles:

I com tots tres han de sumar $180^\circ$, $\alpha$ mesura:

$$5\alpha=180\quad\Rightarrow\quad \alpha=\boxed{36^\circ}$$

Si dividim $2018$ entre $9$, obtenim:

$$2018=224\cdot9+2$$

Per tant, ens hem de fixar en la segona posició, després de $224$ iteracions.

Vegem doncs com evoluciona la posició $2$ cada cop que l'elevem al quadrat:

$$2.\quad2^2=4\quad\rightarrow\quad2$$ $$11.\quad 4^2=16\quad\rightarrow\quad6$$ $$20.\quad 6^2=36\quad\rightarrow\quad6$$ $$29.\quad 6^2=36\quad\rightarrow\quad6$$ $$\cdots$$ $$2018.\quad 6^2=36\quad\rightarrow\quad6$$

Està clar que a partir de la posició $11$, la segona posició serà sempre un $\boxed6$.

El triangle original queda dividit en el triangle equilàter $\triangle LMN$, i tres triangles rectangles iguals, com el $\triangle ALN$. Aquests triangles rectangles tenen els angles de $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$, cosa que implica les següents proporcions pel que fa als costats:

Per tant, la base del triangle original és $3a$ (una hipotenusa i el costat curt del triangle rectangle). D'altra banda, la base del triangle equilàter gris és $\sqrt3a$.

Per tant, els triangles $\triangle ABC$ i $\triangle LMN$ són semblants (equilàters), i la proporció dels seus costats és:

$$\frac{\text{costat }\triangle\text{LMN}}{\text{costat }\triangle\text{ABC}}=\frac{\sqrt3a}{3a}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Per tant, la proporció de les àrees és:

$$\frac{\text{àrea }\triangle\text{LMN}}{\text{àrea }\triangle\text{ABC}}=\left(\frac{\text{costat }\triangle\text{LMN}}{\text{costat }\triangle\text{ABC}}\right)^2=\frac39=\frac13$$

Finalment, l'àrea del triangle $\triangle LMN$ és un terç de la del triangle original:

$$A_{\triangle LMN}=\frac{36}3=\boxed{12\text{ cm}^2}$$

Si la mediana és $2$, això vol dir que dels $15$ nombres, hi haurà un $2$, set nombres iguals o més grans que $2$, i set nombres iguals o més petits que $2$.

Dels set nombres iguals o més grans que $2$, ja tenim sis $3$. Per minimitzar la mitjana, afegim un $2$.

Els set nombres més petits han de ser enters positius, és a dir, $1$ com a mínim. Com no podem tenir sis repeticions, ho dividim en cinc $1$ i dos $2$.

Per tant, la mitjana de tots els nombres és:

$$m=\frac{5\cdot1+4\cdot2+6\cdot3}{15}=\boxed{\frac{31}{15}}$$

El fet que durant $6$ anys l'edat de la neta hagi sigut divisora de l'edat de l'àvia ens porta a pensar que les edats de la neta havien de ser nombres molt petits, previsiblement $1,2,3,\ldots$

Provant una mica, trobem les següents seqüències:

$$\begin{array}{c|c} \text{Neta}&\text{Àvia}\\ \hline 1 & 61 \\ 2 & 62 \\ 3 & 63 \\ 4 & 64 \\ 5 & 65 \\ 6 & 66 \\ 7 & 67 \\ \end{array}$$

Si continuem la seqüència, trobem la primera vegada en què l'edat de l'àvia torna a ser un múltiple de la de la neta:

$$\begin{array}{c|c|c} \text{Neta}&\text{Àvia}&\text{Múltiple}\\ \hline 8 & 68 & \text{No} \\ 9 & 69 & \text{No} \\ 10 & 70 & \text{Sí} \end{array}$$

Per tant, la solució és $\boxed{70}$.

El $13\%$ dels estudiants de la universitat fan un idioma diferent de l'anglès, i representen un $65\%$ de tots els estudiants d'idiomes (perquè el $35\%$ fan anglès). Així doncs, el nombre total d'estudiants d'idiomes és:

$$P_\text{idiomes}=\frac{13}{0.65}=\boxed{20\%}$$

Primer de tot, vegem en una figura el polígon i les dues diagonals:

Hi ha $3$ polígons:

• Entre el vèrtex $18$ i el $1018$, amb $1018-18+1=1001$ vèrtexs.
• Entre el vèrtex $1018$ i el $2000$, amb $2000-1018+1=983$ vèrtexs.
• Entre el vèrtex $2000$ i el $18$, amb $2018-2000+1+18+1=38$ vèrtexs.

Podem comprovar que la suma de vèrtexs coincideix amb els $2018$ vèrtexs del polígon original més $4$:

$$1001+983+38=2022=2018+4$$

Això és correcte perquè el vèrtex $2000$ apareix a $2$ polígons, el $18$ a $2$ polígons, i el $1018$ a $3$ polígons. Per tant, hem comptat $7$ cops aquests tres vèrtexs, $4$ cops més dels que apareixien en el polígon original.

Així, els vèrtexs dels tres polígons són:

$$\boxed{38, 983, 1001}$$

Com que $AP$ és un terç de $AC$, i $BQ$ és un terç de $BC$, pel Teorema de Tales, resulta que el segment $PQ$ és paral·lel al costat $AB$.

Així doncs, els triangles $\triangle ABR$ i $\triangle PRQ$ són semblants, amb raó $\frac23$, tal com es veu a la figura:

Així, els segments $RQ$ i $AR$ també tenen una raó $\frac23$, i per tant:

$$RQ=\frac23AR=4\quad\Rightarrow\quad AQ=AR+RQ=6+4=\boxed{10\text{ cm}}$$