Després de $17$ minuts, són les $20.34$. Després de $4$ hores són les $00.34$, i $16$ hores després, finalment, són les $16.34\text{ h}$.

Entre Núria i Maria hi ha $3$ noies per una banda i $6$ per l'altra. En total, són: $$ N=3+6+1+1=11 $$

Si canviem l'orientació dels segments, podem construir un triangle equilàter gran amb la línia discontínua com a base. Llavors, la línia negra seran els altres dos costats del triangle equilàter. Com la base mesura $200\text{ m}$, el camí negre mesurarà $2\cdot200=400\text{ m}$.

Expressem l'enunciat amb una equació, en què $x$ és la capacitat del dipòsit, i la resolem: $$ 0.75x = 0.25x+25\quad\Rightarrow\quad 0.5x=25\quad\Rightarrow\quad x=50 $$

Tenim les mesures de la diferència entre costats, i la diferència dels perímetres és el doble de la suma d'aquestes diferències: $$ D=2\cdot(3+2+4+3)=24\text{ m} $$

Podem dividir la figura en petits triangles equilàters iguals:

La part que està ocupada pel color blanc és: $$ \text{blanc}=\frac{12}{16}=\frac34 $$

La única forma de sumar $7$ amb tres nombres naturals diferents és: $$ 7=1+2+4 $$ I el seu producte és $1\cdot2\cdot4=8$.

Hi ha dues zones grises: la primera és la resta entre l'estel més gran i el segon més gran. La segona és la resta entre el segon estel més petit i el més petit. La suma és: $$ A=(16-9)+(4-1)=7+3=10\text{ cm}^2 $$

Si Laura dóna $x$ euros a cada germana, per tal que totes tinguin els mateixos diners cal que: $$ 20-4x=10+x \quad\Rightarrow\quad 5x=10 \quad\Rightarrow\quad x=2 $$ I totes es queden amb $12$ euros.

Tenim dues opcions: que $A$ sigui un nombre de tres xifres i $A+10$ no ho sigui, o que $A+10$ sigui de tres xifres però $A$ no. Per cada cas, tenim $10$ opcions diferents:

• $A={990,\ 991,\ 992,\ \ldots,\ 999}$. Per qualsevol d'aquests $10$ valors de $A$, $A+10$ tindrà quatre xifres.
• $A={90,\ 91,\ 92,\ \ldots,\ 99}$. Per aquests $10$ valors de $A$, $A+10$ tindrà tres xifres.

En total, hi ha $20$ nombres naturals $A$ amb aquesta propietat.

Si $\frac16$ són adults, $\frac56$ són nens i nenes. D'aquests, $\frac25$ són nens i $\frac35$ són nenes. En total: $$ P_{\text{nenes}}=\frac56\cdot\frac35=\frac{15}{30}=\frac12 $$

Només hi ha dues sumes que tenen un resultat múltiple de $5$: $$ 3+12=15,\quad8+12=20 $$ El sumand repetit a les dues sumes és $12$, i per tant aquestà serà l'edat de la Neus. Llavors, la Sara i la Joana tindran $3$ o $8$ anys cadascuna (els altres sumands de les dues sumes anteriors). Finalment, la Rita tindrà el número d'anys que queda: $14$ anys.

Anomenem $x$ el nombre total de participants. Segons l'enunciat, hi ha $0.35x$ dones i $252 + 0.35x$ homes. En total: $$ (252+0.35x) + 0.35x = x $$ Resolem l'equació: $$ 252=0.3x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{252}{0.3}=840 $$

Anomenem $a,b,c$ els tres nombres que faltes (d'esquerra a dreta). Llavors tenim les equacions: $$ \begin{cases} 3&+&a&+&b&+&c&+&4&=&35 \\ 3&+&a&+&b&&&&&=&22\\ &&&&b&+&c&+&4&=&25 \end{cases} $$ Si a la primera equació li restem les altres dues, tenim: $$ -b=35-22-25=-12\quad\Rightarrow\quad b=12 $$ Substituint a la segona i tercera equacions, deduim que: $$ 3+a+12=22\quad\Rightarrow\quad a=7 $$ $$ 12+c+4=25\quad\Rightarrow\quad c=9 $$ El producte dels nombres dels quadrats grisos $(a,c)$ és: $$ a\cdot c=7\cdot9=63 $$

El cercle pega una volta sencera cada $2\pi\text{ cm}$. Després de $11\pi\text{ cm}$ haurà pegat $5$ voltes completes (es trobarà en la posició inicial), i després pegarà mitja volta. Llavors, la posició final serà la E.

Si comencem posant un nombre senar a dalt de tot, a sota d'ell ha d'haver-hi un senar i un parell: $$ \begin{array}{ccc} &S&\\ S&&P\\ \end{array} $$ Com a molt, podrem posar dos nombres senars a sota: $$ \begin{array}{ccccc} &&S&&\\ &S&&P&\\ P&&S&&S\\ \end{array} $$ I a sota del tot, podem posar $3$ senars com a molt: $$ \begin{array}{ccccccc} &&&S&&&\\ &&S&&P&&\\ &P&&S&&S&\\ S&&S&&P&&S\\ \end{array} $$ En total, hem posat $7$ nombres senars.

Mai podrem posar $8$ nombres senars, perquè llavors només en tindríem $2$ de parells. Si provem, veiem que necessàriament hi ha d'haver algun dels dos nombres parells a la base i és impossible evitar que n'acaben apareixent més de $2$.

L'àrea ombrejada és la de dos triangles de base $1$ i altura $4$ (la meitat del costat del quadrat). Per tant, en total mesura: $$ A=2\cdot\left(\frac12\cdot1\cdot4\right)=4\text{ cm}^2 $$

Observem que la marieta ha caminat $\frac34$ de la longitud del pal, però començava des del final. Per tant es troba a la posició $1-\frac34=\frac14$.

La separació és: $$ \text{separació} = \frac23-\frac14=\frac{8-3}{12}=\frac5{12} $$

Dels $7$ dies de la setmana, pot triar: $$ \begin{array}{cccc} (1, 3),& (1, 4),& (1, 5),& (1, 6), \\ (2, 4),& (2, 5),& (2, 6),& (2, 7),\\ (3, 5),& (3, 6),& (3, 7),\\ (4, 6),& (4, 7),\\ (5, 7) \end{array} $$ En total, pot configurar $14$ calendaris diferents.

La única forma d'omplir la graella és (després ho justifiquem): $$ \begin{array}{ccc} 2&3&2\\ 3&2&3\\ 2&3&2 \end{array} $$ Totes les parelles de caselles contigües sumen $5$ . En total, tenim cinc dosos i quatre tresos, i la suma és: $$ S=5\cdot2+4\cdot3=10+12=22 $$ Per justificar com hem omplit la graella, anemenem $x$ el nombre que va a la dreta del $2$ original, i $y$ el nombre a sota de $x$ (a l'esquerra del $3$). Llavors, sabem que $2+x=x+y=y+3$. De la igualtat esquerra deduïm que $y=2$, i de la igualtat dreta que $x=3$. Si repetim el procediment, veiem que al final la taula quedarà plena de dosos i tresos alternativament.

Observem primer que com a mínim la suma haurà de valer $91^\circ$. Si fóra $90^\circ$ o menys, el tercer angle mesuraria $180-90=90^\circ$, i per tant seria el més gran dels tres, cosa que no pot ser.

Finalment, comprovem que la suma sí que pot ser $91^\circ$, cosa que ocorreria amb un triangle d'angles $(1^\circ, 89^\circ, 90^\circ)$.

Esquematitzem la figura posant fletxes enlloc de cangurs: $$ \begin{array}{ccccccccc} \rightarrow &\rightarrow& \rightarrow&\leftarrow& \leftarrow&\rightarrow& \rightarrow& \rightarrow& \leftarrow& \leftarrow \end{array} $$ Cada fletxa avançarà totes les que tingui en la direcció contrària més enllà de la direcció cap on apunta: $$ \begin{array}{ccccccccccc} \rightarrow&\rightarrow& \rightarrow&\leftarrow& \leftarrow&\rightarrow& \rightarrow& \rightarrow& \leftarrow& \leftarrow \\ 4&4&4&3&3&2&2&2&6&6 \end{array} $$ La suma és: $$ 4+4+4+3+3+2+2+2+6+6=36 $$ Fixem-nos, però, que hem comptat cada salt dues vegades, i per tant en total s'han fet $36\div2=18$ intercanvis.

Per obtindre dues sumes iguals, haurem de sumar $5$ i $2$ a parelles de nombres que tinguen una diferència de $3$. Com a molt, podem trobar tres d'aquestes parelles: $$ (1,4),\quad (2,5),\quad(3,6) $$ En total, tindrem $9-3=6$ sumes diferents.

Abans que el cotxe arribe (en $60$ minuts), hauran arribat els següents busos que han sortit en $3,6,\ldots$ minuts, els quals hauran arribat en: $$ 38,\ 41,\ 44,\ 47,\ 50,\ 53,\ 56,\ 59\ \text{ minuts} $$ En total, l'han avançat $8$ autobusos.

En primer lloc, observem que el quadrat gris d'enmig té un costat que és $\frac35$ del costat del quadrat gran (mesura $3$ de les $5$ diagonals dels quadradets petits inclinats). Per tant, l'àrea entre els dos quadrats és: $$ A_{\text{fora quadrat interior}}=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac9{25}=\frac{16}{25} $$ Pel que fa a la resta, es troba dividida a parts iguals entre els quadradets grisos i l'espai blanc. Per tant, el percentatge blanc és la meitat de $\frac{16}{25}$: $$ A_{\text{blanc}}=\frac{16}{25}\cdot\frac12=\frac{8}{25}=\frac{32}{100}=32\% $$

Vegem com continua la llista, fins trobar un patró: $$ 2,3,\underbrace{6,8,8,4,2,8},\underbrace{6,8,8,4,2,8},\ldots $$ Buscarem la posició $2015$ a partir de la posició $3$, en què es comença a repetir una seqüència de longitud $6$. Calculem el residu de la divició per $6$: $$ 2015=335\cdot6+5 $$ Per tant, a la posició $2017$ hi ha el $5\text{è}$ nombre del cicle: un $2$.

Comencem comptant els $3$ cubets que ha tret de la superfície de cada cara. En total això són $6\cdot3=18$ cubets.

Pel que fa al cub $3\times3\times3$ interior, mirem en detall què passa a cada capa, per no descomptar-nos:

Al cub interior Diana ha tret $7\cdot3=21$ cubets.

En total, ha tret $$ 18+21=39\text{ cubets} $$

Els corredors van a una velocitat de: $$ v_A=\frac{720}{4}=180\text{ m/min} $$

$$ v_B=\frac{720}{5}=144\text{ m/min} $$

Tornaran a coincidir després de $t$ minuts, en què entre els dos hauran recorregut $720\text{ m}$: $$ 180t+144t=720\quad\Rightarrow\quad324t=720\quad\Rightarrow\quad t=\frac{20}{9} $$ En aquest temps, el segon corredor haurà recorregut: $$ d_B=144\cdot\frac{20}{9}=320\text{ m} $$

Els punts que marca en Simó són: $$ \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots, \frac{59}{60} $$ I els que marca Bàrbara són: $$ \frac{1}{36},\ \frac{2}{36},\ \frac{3}{36},\ \cdots, \frac{35}{36} $$ Recordem també les factoritzacions en nombres primers de $36$ i $60$: $$ 36=2^2\cdot3^2 $$

$$ 60=2^2\cdot3\cdot5 $$

Per tal que dues fraccions (una de cada llista) siguen iguals, les primeres han d'eliminar el factor $5$ del denominador (tenint un $5$ al numerador), i les segones han d'eliminar un $3$ del denominador (tenint un $3$ al numerador).

Entre l'$1$ i el $59$, hi ha $11$ múltiples de $5$, i entre l'$1$ i el $35$ hi ha $11$ múltiples de $3$, que ens donaran les $11$ coincidències en les marques:

$$ \begin{array}{ccccc} \text{Simó}&&&&\text{Bàrbara}\\ \frac{5}{60}&=&\frac1{12}&=&\frac{3}{36}\\ \frac{10}{60}&=&\frac2{12}&=&\frac{6}{36}\\ \cdots&&\cdots&&\cdots\\ \frac{55}{60}&=&\frac{11}{12}&=&\frac{33}{36} \end{array} $$

En total, doncs, hi haurà:

$$ \text{marques}=59+35-11=83 $$

La qual cosa suposa que el cordill es tallarà en:

$$ \text{trossos}=83+1=84 $$

Podem dividir la figura en tres zones de colors diferenciats:

En aquesta figura, sabem que el triangle verd, $\triangle ABM$, té una àrea de $\frac{S}2$, ja que és un triangle amb la mateixa base i altura que el paral·lelogram. A més, els triangles vermells tenen una àrea de $\frac{S}3$, tal com diu l'enunciat. Per tant, els triangles blaus, $\triangle DEM$ i $\triangle FCM$ sumen una àrea que és la diferència respecte a l'àrea total: $$ A_{\triangle DEM}+A_{\triangle FCM} = S - \frac{S}{2} - \frac{S}3 = \frac{S}6 $$ D'altra banda, fixem-nos en el triangle superior $\triangle DOC$, que té una àrea que mesura $\frac{S}4$, perquè està delimitat per les dues diagonals (mateixa base que el paral·lelogram i la meitat d'altura):

I l'àrea del quadrilàter $\square EOFM$ és la resta entre $A_{\triangle DOC}$ i els dos triangles que hem calculat abans ($\triangle DEM$ i $\triangle FCM$): $$ A_{\square EOFM} = A_{\triangle DOC} - (A_{\triangle DEM} + A_{\triangle FCM}) = \frac{S}4 - \frac{S}6 = \frac{S}{12} $$ Finalment, hem vist que l'àrea del quadrilàter és $A_{\square EOFM}=\frac{S}{12}$.