La paradoxa dels dos asos
25 de juliol de 2016
Fa uns dies, el meu antic company d'equip de programació Ivan Geffner em va
proposar la curiosa paradoxa matemàtica que a continuació explicaré. Aquest
problema apareix al llibre Reasoning about uncertainty de
Joseph Halpern, professor a la Universitat de Cornell, on Ivan fa el seu
doctorat. Vegem en què consisteix.
Plantejament
Un amic nostre ens proposa un joc amb quatre cartes: l'as d'oros, l'as d'espases,
el tres i el quatre de copes. Repetidament, el nostre amic baralla les cartes i nosaltres
en triem dues a l'atzar:
Triem dues cartes a l'atzar entre les
quatre de la figura
I ens proposa:
—Et jugaries 1€ a que tens la parella d'asos? Si la tens, et dono 4€.
Com som gent raonable, farem uns petits càlculs probabilístics abans
d'entrar al joc. Comprovem que hi ha 6 possibles combinacions de dues cartes,
totes igual de probables:
Les sis possibles
tries de dues cartes
Així, a la llarga, només guanyarem 1 cop de cada 6, i per tant perdrem
6€ per guanyar-ne només 4. I li diem al nostre amic: no penso jugar!
El nostre amic continua barallant les quatre cartes i repartint-nos parelles. Mira
les cartes que hem descartat, i per tal de fer-nos el joc més atractiu,
ens comenta:
Proposta #1. —Pel que veig, almenys tens un as, vols jugar ara?
Mostra resposta
De les sis combinacions inicials, podem descartar el cas en què tenim
el tres i el quatre, ja que sabem que almenys tenim un as. Llavors queden
cinc possibilitats:
Hi ha 1 opció entre 5 que tinguem els dos asos, i per tant perdríem 5€
per tal de guanyar-ne 4. Altre cop contestem: **no vull jugar**!
Fent un gran esforç, l'amic continua barallant i intenta fer propostes
encara més atractives, com aquesta:
Proposta #2. —Ara tens l'as d'oros, t'animes a jugar?
Mostra resposta
Com sabem que tenim l'as d'oros, només hi ha tres combinacions possibles:
Així, cada tres cops que juguem, guanyarem un cop, és a dir, guanyarem 4€ per
cada 3€ que ens juguem! Llavors li diem a l'amic: **sí que vull jugar**!
De la mateixa manera, després de tornar a repartir, l'amic ens proposa:
Proposta #3. —Ara tens l'as d'espases, juguem?
Mostra resposta
Aquest cas és igual que l'anterior i també volem jugar!
Com tenim l'as d'espases, només hi ha tres combinacions possibles:
La paradoxa
Emprenyat, el nostre amic ens evidencia la paradoxa:
—Quan et dic que tens l'as d'oros o que tens l'as d'espases, vols jugar.
En canvi, quan et dic que tens un as (sense especificar quin) et negues a jugar.
Però si en tens un és evident que serà o bé el d'oros o bé el d'espases!
Quina és l'explicació d'aquesta paradoxa?
Mostra resposta
La realitat és que ens hem precipitat una mica a l'hora de jugar-nos els
estalvis, i hem calculat algunes probabilitats sense tenir en compte
la dinàmica del joc.
La clau radica en la informació que ens dóna el nostre amic, especialment
quan tenim els dos asos. Si tenim els dos asos, què ens diu: que tenim el
d'espases o que tenim el d'oros? Suposem que ens diu aleatòriament una de
les dues coses i tornem a calcular les probabilitats.
Quan el nostre amic ens diu que tenim l'as d'oros, hi ha tres possibilitats:
* Tenim l'as d'oros i el tres de copes, amb probabilitat $\frac16$.
* Tenim l'as d'oros i el quatre de copes, amb probabilitat $\frac16$.
* Tenim els dos asos (probabilitat $\frac16$), i el nostre amic ha decidit
dir-nos que tenim l'as d'oros (amb probabilitat $\frac12$). En total, la probabilitat
és $\frac16\cdot\frac12=\frac1{12}$.
*Anàlisi dels casos en què
l'amic ens diu que tenim l'as d'oros o l'as d'espases.*
Per tant, la probabilitat de tindre els dos asos quan el nostre amic ens diu
que tenim l'as d'oros és:
$$P=\frac{\frac1{12}}{\frac16 + \frac16 + \frac1{12}} = \frac{\frac1{12}}{\frac5{12}} = \frac15$$
En resum, serà millor que **no juguem en cap dels casos**.
Per entendre aquesta paradoxa hem hagut de pensar amb una mica de rigor
la manera com es desenvolupa el joc, per no tenir en compte probabilitats
aïllades que no es corresponen amb el problema real. Joseph Halpern presenta
al seu llibre un marc matemàtic molt ampli amb mesures de probabilitat,
condicionament, expectativa, protocols, etc. que formalitza conceptes necessaris
per plantejar i resoldre estos problemes de manera satisfactòria.
T'agrada aquest article?
Deixa el teu correu i t'informaré quan en publiqui un altre o llenci algun projecte interessant.